《光学工程基础》清华大学（26）- 物理光学（多缝的夫琅和费衍射）
1. 双缝与多缝的夫琅和费衍射
1.1 双缝夫琅和费衍射
上图是用线光源照明情况下，两个缝的夫琅和费衍射的工作原理图。前面一个透镜 $L_1$把单缝成一平行光束照射到双缝上，两个双缝的宽度都是 $a$，然后通过后面的透镜 $L_2$，在 $L_2$的焦面上观察到双缝的夫琅和费衍射。双峰的夫琅和费衍射可以把这个缝平面上的孔径透射比写出然后带入夫琅和费衍射公式，从而求得夫琅和费衍射项。
我们先使用双光束干涉的强度分布公式：
\[\begin{aligned} I(P)&=I_单+I_单+2\sqrt{I_单\cdot I_单}cos\delta\\&=4\cdot I_单cos^2(\frac{\delta}{2}) \end{aligned}\]其中的 $I_单$我们用单缝的衍射强度来表示，则有：
\[I_单=I_0cdot\left(\frac{sin\alpha}{\alpha}\right)^2\]结合上面二式，我们可得双缝夫琅和费衍射光强度分布公式：
\[I=4I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2(cos\frac{\delta}{2})^2\]其中，$\alpha=\frac{kax}{2f}=\frac{\pi}{\lambda}asin\theta$，$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}dsin\theta$。
- $I_0$为单缝在 $P_0$点的强度；
- 衍射因子：$(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2$；
- 干涉因子：$(cos\frac{\delta}{2})^2$。
双缝衍射是单缝衍射和双缝干涉的结果。
下面通过双缝的夫琅和费衍射公式来讨论夫琅和费衍射的衍射图案特性：
\[I(p)=\tilde{E}\tilde{E}^*=4I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2\cdot(cos\frac{\delta}{2})^2\]- 衍射极小：$\alpha=n\pi,~asin\theta=n\lambda,~n=\pm1,\pm2,···$；
- 干涉极大：$\delta=m\pi,~dsin\theta=m\lambda,~m=0,\pm1,\pm2,···$；
- 中央（零级）主极大位置：$\alpha=0,n=0$；
- 干涉零级极大值位置：$\delta=0,m=0$。
下图为双缝衍射强度分布曲线，子图1为 $sin\alpha/\alpha$的曲线（衍射的强度分布），子图2为 $(cos\frac{\delta}{2})^2$的曲线（干涉的强度分布），上面两个曲线是相乘的关系，得到子图3。
1.2 多缝夫琅和费衍射
【强度分布公式】（对多缝孔径求积分）
每个单缝：
\[\tilde{E}=E_0(\frac{sin\alpha}{\alpha}),~~\alpha=\frac{ka}{2}sin\theta,~~sin\theta=\frac{x}{f}\]相邻两缝中心到 $P$点的光程差：
\[\Delta=dsin\theta,~~\delta=\frac{2\pi}{\lambda}dsin\theta\]则可得合成的复振幅为（$N$为缝数）：
\[\begin{aligned} \tilde{E}&=E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}+E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}e^{i\delta}+E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}e^{i2\delta}+\cdot\cdot\cdot~+E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}e^{i(N-1)\delta}\\&=E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}\cdot\frac{(1-e^{iN\delta})}{1-e^{i\delta}}\\&=E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}\cdot\frac{e^{i\frac{N}{2}\delta}(e^{-i\frac{N}{2}\delta}-e^{i\frac{N}{2}\delta})}{e^{i\frac{\delta}{2}}(e^{-i\frac{\delta}{2}}-e^{i\frac{\delta}{2}})}\\&=E_0\frac{sin\alpha}{\alpha}\cdot e^{i(N-1)\delta/2}\frac{sin(N\delta/2)}{sin(\delta/2)} \end{aligned}\]多缝衍射是单缝衍射和多缝干涉的结果。
\[I(p)=\tilde{E}\tilde{E}^*=I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2\cdot[\frac{sin(N\delta/2)}{sin(\delta/2)}]^2\]- $I_0$为单缝在 $P_0$点的强度；
- 单缝衍射因子：$\frac{sin\alpha}{\alpha}$，决定各主极大的相对强度；
- 干涉因子：$[\frac{sin(N\delta/2)}{sin(\delta/2)}]^2$，决定各级主极大的位置。
- 干涉主极大是单个强度的 $n$倍，我们又叫它光谱线。
- 两极小值间有一次极大。
- 相邻两主极大间有 $N-1$个极小值，$N-2$个次极大值。
- 次极大值位置由 $\frac{\partial}{\partial\delta}(\frac{sinN\delta/2}{sin\delta/2})^2=0$（偏导为0）得出。
下图可看出，随着 $N$的增大，干涉条纹会变得又细又锐，呈现出多缝干涉的特性。
$(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2$的【调制作用】：
- $\alpha=n\pi,asin\theta=n\lambda,n=\pm1,\pm2···$，衍射极小。
- $(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2$决定各级主极大的相对强度。
【缺级】某一干涉级大与衍射极小相遇而不出现在 $m=n\frac{d}{a}$的整数倍处缺级。
中央衍射极大内主极大的数目由 $\frac{d}{a}$决定。
参数 $\frac{d}{a},N$决定强度分布曲线。
缝数 $N$对衍射分布的影响（$d,a$不变时）：
- 各主极大的强度增强 $N^2$倍；
- 各级主极大（条纹）变细变亮（表现出条纹多缝干涉的特性：细锐）；
$\Delta\theta$为主极大半角宽度。如下方式求出：
\[\begin{cases} dsin\delta_m=m\lambda\\dsin(\theta_m+\Delta\theta)=(m+\frac{1}{N})\lambda \end{cases}\Rightarrow\Delta\theta=\frac{\lambda}{Ndcos\theta_m}\]易得 $\Delta\theta\infty\frac{1}{N}$；$d,a$一定时，各级主极大位置、相对强度、缺级不变。
2. 光栅的分光性能
衍射光栅具有多缝衍射的分光特性，在各类光谱分析仪器中都有广泛的应用。
【光栅光谱】衍射光栅的夫琅和费衍射图样。
- 透射式平面光栅：在透明板上平行刻上等距等宽的刻痕，使其余部分透过光的部件。
- 反射式平面光栅：在金属面上平行刻上等距等宽的刻痕，使其余部分反射光的器件。
- （上述两种的光栅分光原理相同）
2.1 光栅的分光性能
【光栅方程】决定各级主极大位置的表达式（$dsin\theta=m\lambda,m=0,\pm1,\pm2···$时取到极大值）。但这个方程只适用于平行光正入射（入射角度 $i=0$时）。而光栅方程的普遍形式如下：
\[d(sini\pm sin\theta)=m\lambda~~~~~~(m=0,\pm1,\pm2,···)\]- $d$为缝与缝之间的间距；
- $i$为入射角度；
- $\theta$为出射角度。
什么时候取$+$，什么时候取$-$号呢？
- 对于反射式光栅，$i,\theta$均为相对于光栅面法线之夹角，衍射光与入射光同侧取“+”号，异侧取“-”号。
- 对于透射式光栅，当入射光线和衍射光线都位于法线的同侧时取“+”号，异侧取“-”号。
2.2 光栅光谱与色散的关系
即为衍射角 $\theta$与 $\lambda$的关系。
光栅的色散表明光栅具有分光能力。衍射角与波长 $\lambda$的关系为
\[dsin\theta=m\lambda\]不同波长的同级主极大对应不同的衍射角。也就是说，随着波长的变化，衍射角是变化的。
【角色散】波长差 $\Delta\lambda=0.1nm$的两条谱线分开的角度（对透镜中心张角）：
\[\Delta\theta=\frac{d\theta}{d\lambda}\Delta\lambda=\frac{m}{dcos\theta}\Delta\lambda\]【线色散】波长差 $\Delta\lambda=0.1nm$的两条谱线在焦面上的距离：
\[\begin{aligned} \Delta l&=\frac{dl}{d\lambda}\Delta\lambda\\&=f\cdot\frac{d\theta}{d\lambda}\Delta\lambda\\&=f\cdot\frac{m}{dcos\theta}\Delta\lambda \end{aligned}\]【匀排光谱】色散是均匀的光栅光谱。$\theta$角不大时，$cos\theta$随 $\theta$变化不大，所以它们的间距 $\Delta l$基本上是相等间隔，所以称之为匀排光谱。
2.3 光栅的分辨本领
【光栅的分辨本领】指的是光栅分辨两相邻谱线的能力 $A$：
\[A=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}\]根据瑞利判据，当 $\lambda+\Delta\lambda$ 的谱线与 $\lambda$ 的同级谱线零点重合。
则从图中，可知在某一 $\theta$位置，有
\[\begin{cases} dsin\theta=m(\lambda+\Delta\lambda)\\dsin\theta=(m+\frac{1}{N})\lambda \end{cases}\Rightarrow m(\lambda+\Delta\lambda)=(m+\frac{1}{N})\lambda\\\Rightarrow\Delta\lambda=\frac{\lambda}{mN}\]故而可知光栅的分辨本领 $A$为
\[A=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN\]其中，$m$为干涉级次（有限），$N=\frac{S}{d}$为光栅总缝数（刻痕数，大）。我们可以通过斜照明来加大入射角 $i$，以增大 $m$，但也是有限的。光栅的分辨本领 $A$一般是比较大的数。
2.4 光栅的自由光谱区
【光栅的自由光谱区 $\Delta\lambda$】光谱不发生重叠的区间。对应复色光光谱光栅，2级谱以上有谱线重叠的现象，谱线不重叠的区域我们称之为自由光谱区。
\[\begin{aligned} (m+1)\lambda&=m(\lambda+\Delta\lambda)\\\Delta\lambda&=\frac{\lambda}{m} \end{aligned}\]从 $\Delta\lambda$的表达式可以看出，它只和 $\lambda,n$有关。光栅的 $\Delta\lambda$一般是比较大的（$m$不大）。
3. 几种典型的光栅
3.1 平面振幅光栅
【矩形光栅】由大量狭缝组成，$T(x_1)$为矩形函数。
光栅的光强分布：
\[I=I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2\cdot[\frac{sin(N\delta/2)}{sin(\delta/2)}]^2\]其中，$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}d(sin\theta\pm sini)$决定谱线的位置（干涉极大值的位置），$\alpha=\frac{\pi}{\lambda}a(sin\theta\pm sini)$为衍射调制项。
【中央零级位置】由干涉项决定：$d(sin\theta\pm sini)=0$。
我们会发现一个问题，当 $d\approx a$的时候，干涉谱线几乎没有能量。因为它的中央零级光强是最大的，而中央零级和衍射零级重合，衍射零级占了80%的能量，而干涉零级有没有分光能力（$dsin\theta=m\lambda$），而其它级次处衍射效率很低，所以就不满足光谱分析的需要。解决方法为将衍射的极大方向变换到高级谱线上（即让一级或者二级光栅闪耀，也就是后面介绍的闪耀光栅）。
3.2 闪耀光栅（平面定向光栅）
闪耀光栅最大的特点是存在一个闪耀角 $\gamma$，闪耀角为刻槽面与光栅基底所在平面之间的夹角。
有了闪耀角 $\gamma$之后会发生什么情况呢？1）首先是刻槽面的法线（刻画面法线）与基板的法线（即光栅面法线）不重合了；2）衍射光栅是多缝干涉加上单缝衍射共同作用的结果，多缝干涉的干涉发生在每一个小的刻槽面和刻槽面之间，所以其干涉的基准是大的光栅基准面。衍射发生在小的刻槽面上，则衍射的相对基准是相对于这个小的刻槽面的法线而发生的。以前说的入射角度 $i$和衍射角度 $\theta$都是相对于大的基准面而言。现在有了闪耀角之后，刻画面的法线于基地的法线不重合，而干涉中央主极大是相对于光栅面的干涉主极大。在$\alpha=\beta$的时候，取到衍射主极大，此时和干涉的主极大分开，这时候我们就可以让干涉主极大非零级（$\pm1,\pm2$），这个干涉的主极大和衍射的主极大重合，这时候这一级干涉光就被闪耀了。这就是我们所说的闪耀光栅的工作原理。其要点是单个面衍射的中央极大与干涉零级的主极大分开，可以改变各级主极大的相对强度，使某一个干涉级次的光闪耀。
闪耀光栅的两种应用方式：
- 1）在垂直于光栅面的方向上入射。
当 $m=1$时，对应的 $\lambda=\lambda_B$称为（一级）闪耀波长。
- 2）自准直入射（入射光沿刻痕面法线方向）。
确定的角度方向和闪耀波长：
\[2dsin\gamma=\lambda_B\]自准直条件：衍射分布的峰值正好在 $\gamma$方向上。
\[i=\gamma（闪耀角）\]上述两种应用方式的闪耀方程对比：
- 在闪耀光栅中，$d\approx a$；
- 在中央衍射级中只有一级光谱存在；
- 当 $m=2,3…$时，光栅分别对 $\lambda_B/2,\lambda_B/3$的波长闪耀；
- 应用时，我们根据 $\lambda_B$来确定 $\gamma$。