《光学工程基础》清华大学（3）- 应用光学（近轴光学）
近轴光学基本概念
- 通过等光程成像求得的曲面只对特定点物成点像。
- 除平面反射镜外，光学系统不会对某一空间中的所有点物均成点像。
：只考虑共轴光学系统。
- 我们系统里可以用到球面、非球面、平面；
- 我们的工作原理可以是折射和反射；
- 对于球面来说，如果$r\rightarrow\infty$，则$球面\rightarrow平面$。
- 对非球面而言，如果$h\rightarrow 0$，$非球面\rightarrow球面$。
- $n'=-n$时，折射可以推导出发射。
因此，球面折射行为具有代表性。
近轴范围内，球面、二次曲面以及高阶非球面的级数表达式见此Blog。
因为在近轴范围内（即$h$远小于近轴球面半径$r$时），后面的项都可以被忽略掉，故而此时有以下近似：
\[折射面形：z=\frac{1}{2}ch^2\ (c代表着曲率，h代表着投射高度)\\ sin\varphi=\frac{h}{r}\approx\varphi\\ cos\varphi=\sqrt{1-(\frac{h}{r})^2}\approx1-\frac{\varphi^2}{2}\]【近轴光线】入射到近轴球面上并与光轴（$z$轴）的夹角$\theta$很小的光线称为近轴光线。
\[sin\theta\approx\theta\\ tan\theta\approx\theta\\ cos\theta\approx1\]近轴光线的符号规则：
- $u$：物方孔径角
- $l$：物方截距
- $u'$：像方孔径角
- $l'$：像方截距
【轴上线段】是与数学坐标系兼容的，以近轴球面的顶点为原点，与光的行进方向相同的为正，相反的为负；【垂轴线段】也与数学坐标系兼容，光轴上方的为正，下方的为负；对于近轴球面的【球面半径】而言，它也是与数学坐标系兼容的，同样以球面顶点为原点，球心在顶点右边的球面半径为正值，球心在顶点左边的球面半径取负值；【角度】以锐角来度量，其符号规则与数学坐标系不同，【孔径角】是以光轴转向光线，顺时针为正，逆时针为负。对于【光线的入射角和折射角】，则以光线起转向法线，顺时针为正，逆时针为负；而【光轴与法线的夹角】，是由光轴转向法线，顺时针为正。
在不同的教科书中，对于轴向线段的定义的正负方向是不一致的。折射没有区别，关键在于反射时的符号。
近轴球面成像
单个近轴球面成像：
- 点物成点像
- 等光程成像
近轴球面的成像公式：
\[\frac{n'}{l'}-\frac{n}{l}=\frac{n'-n}{r}\\ n'u'-nu=\frac{n'-n}{r}h\]小角度近似下的折射定律：
\[ni=n'i'\]【近轴光线的追迹公式】（已知物方参数n、l、u，像方参数n'，近轴球面半径r）
\[\begin{aligned} i&=(\frac{l}{r}-1)u\\\ \\ i'&=\frac{ni}{n'}\\\ \\ u'&=u+i-i'\\\ \\ l'&=r(1+\frac{i'}{u'}) \end{aligned}\]【近轴球面系统成像】
- 对于共轴系统，近轴光线的计算可以一面一面地逐次计算。像点作为下一面的物点，循环计算，直至最后一个折射面。
【Key】随着前一面计算结束向后一面过渡时，应将坐标原点同时从前一面的顶点移到后一面的顶点，即坐标原点一定是当前计算面的顶点；建立前一面计算结果与后一面计算数据之间的联系。
【转面公式】
\[l_{i+1}=l_i'-d_i\\\ \\ u_{i+1}=u_i'\\\ \\ n_{i+1}=n_i'\]近轴球面成像放大率
使用相似三角形
【横向放大率（垂轴放大率）】像高与物高之比为单个近轴球面的横向放大率（垂轴放大率），用希腊字母$\beta$表示：
\[\beta=\frac{y'}{y}=\frac{nu}{n'u'}\]【轴向放大率】若物平面沿光轴方向移动一微小距离$\delta l$，则像平面沿光轴方向移动一微小距离$\delta l'$。定义$\delta l'$与$\delta l$之比为轴向放大率，用希腊字符$\alpha$表示：
\[\alpha=\frac{\delta l'}{\delta l}\]利用前面所的成像公式 $n(\frac{1}{r}-\frac{1}{l})=n'(\frac{1}{r}-\frac{1}{l'})$，可以得到
\[n\frac{\delta l}{l^2}=n'\frac{\delta l'}{l'^2}\\\ \\ \alpha=\frac{\delta l'}{\delta l}=\frac{nl'^2}{n'l^2}\]轴向放大率和横向放大率之间的关系：
\[\left.\begin{matrix} \alpha=\frac{\delta l'}{\delta l}=\frac{nl'^2}{n'l^2}\\\ \\ \beta=\frac{y'}{y}=\frac{nu}{n'u'}\\\ \\ li=l'u' \end{matrix}\right\}\alpha=\frac{n'}{n}\beta^2\]通过轴向放大率和横向放大率之间的关系 $\alpha=\frac{n'}{n}\beta^2$ 可以知道:
- 式子右端总大于零，对于单个近轴球面，像平面的移动方向总是和物平面的移动方向一致。
- 对于单个近轴球面，无论物体处于什么位置，横向放大率和轴向放大率一般并不相等，说明一个立方体经一个近轴球面成像后并不是一个立方体。
【共轭光线】将入射光线和相应的折射光线称为一对共轭光线，共轭光线与光轴夹角之比定义为角放大率，用希腊字母$\gamma$表示：
\[\gamma=\frac{u'}{u}=\frac{n}{n'}\frac{1}{\beta}\]于是可得横向放大率、轴向放大率、角放大率三者之间的关系：
\[\left.\begin{matrix} \alpha=\frac{n'}{n}\beta^2\\ \gamma=\frac{u'}{u}=\frac{n}{n'}\frac{1}{\beta} \end{matrix}\right\}\rightarrow\alpha\gamma=\beta\]整个系统的横向放大率是系统每一面横向放大率的乘积：
\[\beta=\prod_{i=1}^k\beta_i\]整个系统的轴向放大率是系统每一面轴向放大率的乘积：
\[\alpha=\prod_{i=1}^k\alpha_i\]整个系统的角放大率是系统每一面角放大率的乘积：
\[\gamma=\prod_{i=1}^k\gamma_i\]物像空间及光学不变量
【实像与虚像】能用屏接收到的像为实像，不能用屏接收到的像为虚像。
【实物和虚物】对于给定的单面系统来说，如果联系物点和像点的入射光线就是该物点发出的实际光线，为【实物】。对于给定的单面系统，入射光线的延长线交于一点，该点为【虚物点】。
对于整个成像系统而言，一定是有个实物的。无论是他自己发光，还是被照明以后发射光线。
【物空间和像空间】任何具有一定面积或体积的物体，都可以看作是由无数发光点集合而成。物体上各点所对应的像点的总体就叫该物体通过光学系统所成的像。物所在的空间称为“物空间”，像所在的空间称为“像空间”。光学系统第一面以前的空间为“实物空间”，而第一面以后的空间为“虚无空间”；系统最后一面以后的空间称为“实像空间”，而最后一面以前的空间称为“虚像空间”。
- 整个物空间（包括实物空间和虚物空间）是无限扩展的。
- 整个像空间（包括实像空间和虚像空间）是无限扩展的。
【阿贝（Abbe）不变量】
\[A=n(\frac{1}{r}-\frac{1}{l})=n'(\frac{1}{r}-\frac{1}{l'})\]【拉赫不变量】在近轴球面成像前后，折射率、孔径角、物（像）高三者乘积是不变的。
\[J=nuy=n'u'y'\]矩阵光学简介
前面在推导近轴球面的成像公式时，又像方孔径角和物方孔径角以及投射高度h的一个公式：
\[n'u'-nu=\frac{n'-n}{r}h\]从公式中可以看到，像方孔径角是物方孔径角和投射高度的线性组合，因此我们就可以考虑使用矩阵来来表达成像的行为。
【近轴光线的列向量表示】含光轴的平面内，任一近轴光线可用该光线在参考面上的投射高度$h$，以及它与光轴的夹角$u$（即孔径角）来表示。为了表明该光线所在的媒质折射率$n$，将$n$与$u$的乘积作为一个参数，称为光学方向余弦。于是光线可用列向量$\mathbf{a}$来表示：
\[\mathbf{a}=\begin{bmatrix} h\\ nu \end{bmatrix}\]【近轴光线的折射矩阵】近轴折射球面，两边媒质的折射率分别为$n$和$n'$，近轴球面半径为$r$，参考面选择在球面顶点的切平面上。
\[入射光线\mathbf{a}=\begin{bmatrix} h\\mu \end{bmatrix}\Rightarrow\mathbf{a'}=\begin{bmatrix} h'\\n'u' \end{bmatrix}\]将参考面选取在过近轴球面顶点的切平面上，由近轴光线的性质知：
\[h=h'\]近轴光线在近轴球面上折射前后满足关系：
\[n'u'-nu=\frac{n'-n}{r}h\]故而可得$\mathbf{a}$和$\mathbf{a'}$的关系：
\[\begin{bmatrix} h'\\n'u' \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&0\\\frac{n'-n}{r}&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} h\\nu \end{bmatrix}\]其中，这个$\begin{bmatrix}1&0\\frac{n'-n}{r}&1\end{bmatrix}$只含有近轴球面的参量，称其为近轴光线的折射矩阵，用${R}$简记之。
\[R=\begin{bmatrix} 1&0\\\frac{n'-n}{r}&1 \end{bmatrix}\]则
\[\mathbf{a'}=R\mathbf{a}\]【近轴光线的转面矩阵】光线$\mathbf{a}$无论在参考面$RP_1$上描述还是在参考面$RP_2$上描述，它都是同一条光线。利用近轴光学中的转面关系式：
\[\begin{matrix} n_2=n_1'&u_2=u_1'&h_2=h1_-d_1u_1' \end{matrix}\] \[\begin{cases} \begin{matrix} h_2=h_1-\frac{d_1}{n_1'}n_1'u_1'\\ n_2u_2=0+n_1'u_1' \end{matrix} \end{cases}\Rightarrow\begin{bmatrix} h_2\\n_2u_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-\frac{d_1}{n_1'}\\0&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} h_1\\n_1u_1 \end{bmatrix}\]矩阵$\begin{bmatrix}1&-\frac{d_1}{n_1'}\0&1\end{bmatrix}$只含有近轴球面的参量，称其为近轴光线的转面矩阵，用$T$简记之。
\[T=\begin{bmatrix}1&-\frac{d_1}{n_1'}\\0&1\end{bmatrix}\] \[\mathbf{a_2}=T\mathbf{a_1}\]【近轴球面系统的特性矩阵】设一近轴光学系统由$K$个折射面$(n_i,n_i',r_i)$组成，它有$K-1$个间隔（厚度）$d_i$。$K$个折射矩阵
\[\begin{matrix} R_i=\begin{bmatrix}1&0\\\frac{n_i'-n_i}{r_i}&1\end{bmatrix}&T_i=\begin{bmatrix}1&-\frac{d_i}{n_i'}\\0&1\end{bmatrix} \end{matrix}\]我们记
\[M=R_KT_{K-1}R_{K-1}...T_1R_1\]为光学系统的特征矩阵，其中$M$矩阵中只含有光学系统的参数。
\[\mathbf{a}_K'=M\mathbf{a_1}\]矩阵光学应用
矩阵光学的应用：激光稳定谐振腔的设计。
因为近轴光线的折射矩阵：$R=\begin{bmatrix}1&0\\frac{n'-n}{r}&1\end{bmatrix}$，我们使用$折射\rightarrow反射：n'=-n$带入，故而可得到球面反射的反射矩阵(空气中)：
\[R=\begin{bmatrix} 1&0\\\frac{-1}{r}&1 \end{bmatrix}\]
反射镜1和2的反射矩阵：
\[\begin{matrix} R_1=\begin{bmatrix} 1&0\\\frac{-2}{r_1}&1 \end{bmatrix}& R_2=\begin{bmatrix} 1&0\\\frac{2}{r_1}&1 \end{bmatrix} \end{matrix}\]从$RP_1$到$RP_2$的转面矩阵分别为
\[\begin{matrix} T_1=\begin{bmatrix} 1&\frac{-d_1}{n_1'}\\0&1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&-d\\0&1 \end{bmatrix}& T_2=\begin{bmatrix} 1&\frac{-d_2}{n_2'}\\0&1 \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 1&-d\\0&1 \end{bmatrix} \end{matrix}\]谐振腔的特性矩阵$M$(由两次反射和两次转面而形成的)：
\[M=T_2R_2T_1R_1=\begin{bmatrix} m_{11}&m_{12}\\m_{21}&m_{22} \end{bmatrix}\]设特征矩阵$M$的两个特征值分别为$\lambda_1$和$\lambda_2$，属于$\lambda_1$和$\lambda_2$的特征向量分别为$\mathbf{a}_1$和$\mathbf{a}_2$，即：
\[\begin{matrix} \mathbf{Ma_1}=\lambda_1\mathbf{a_1}& \mathbf{Ma_2}=\lambda_2\mathbf{a_2} \end{matrix}\]因此，近轴光线$\mathbf{a}$可以表示成两个特征向量的线性组合，即：
\[\mathbf{a}=c_1\mathbf{a_1}+c_2\mathbf{a_2}\]一条入射光线在谐振腔中传播一次：
\[\begin{matrix} \begin{aligned} \mathbf{Ma}&=\mathbf{M(c_1a_1+c_2a_2)}\\ &=c_1\mathbf{Ma_1}+c_2\mathbf{Ma_2}\\ &=c_1\lambda_1\mathbf{a_1}+c_2\lambda_2\mathbf{a_2} \end{aligned}\\ \begin{aligned} \mathbf{M^2a}&=\mathbf{M(M(c_1a_1+c_2a_2))}\\ &=c_1\lambda_1\mathbf{Ma_1}+c_2\lambda_2\mathbf{Ma_2}\\ &=c_1\lambda_1^2\mathbf{a_1}+c_2\lambda_2^2\mathbf{a_2} \end{aligned}\\...\\ \mathbf{M^na}=c_1\lambda_1^n\mathbf{a_1}+c_2\lambda_2^n\mathbf{a_2} \end{matrix}\]若要将来回反射的光线保持在腔内而不从腔的侧面跑出去，则始终要求光线的投射高度$h$有限，故：
\[\begin{matrix} |\lambda_1|\le1&|\lambda_2|\le1 \end{matrix}\]只有这样，所有的$\mathbf{M^Na}$可保持在距离光轴的有限范围内，才能建立稳定振荡。
如何求$\lambda_1$和$\lambda_2$？是由线性代数求特征值的方法。
韦达定理：
\[x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1+x_2=\frac{c}{a}\]