《光学工程基础》清华大学（23）- 物理光学（光波的标量衍射理论）
光的衍射现象是光的波动性的主要标志之一。
【衍射现象】光波遇到障碍物，传播方向偏离直线传播方向，弯入障碍物几何阴影当中，在几何阴影当中还可以看到有强度不均匀分布的现象。Sommerfield的定义为不能用反射或折射来解释的光线对直线光路的偏离现象。
【广义的衍射现象】以任何形式改变光波波面的振幅和相位分布，即对光波波面复振幅的分布进行调制或分割的现象。
衍射系统配置如下图。透射系数记为 $\tilde{t}(x_1,y_1)$。
衍射屏可以为如下几种类型：
- 不透明屏上开孔；
- 不透明小屏障；
- 任一透射系数 $\tilde{t}(x_1,y_1)$ 的透明片。
衍射屏的作用是改变光波波面的复振幅分布。
\[\tilde{E}(x_1,y_1)=\tilde{E}_0(x_1,y_1)\cdot\tilde{t}(x_1,y_1)\]光波的标量衍射理论种类比较多：
- 惠更斯-菲涅耳衍射理论
- 基尔霍夫衍射理论
- 瑞利-索末非衍射理论
- 角谱衍射理论
- 边界衍射理论
光的衍射理论最基本的用途是根据光的衍射理论推导出来的衍射波分布公式。
1. 惠更斯-菲涅耳原理
Huygens-Fresnel 原理
【惠更斯原理】假设任意时刻波面上的每一点都是产生次波的波源，下一时刻的波面是由这些次级波源发出的球面波的包络面，波面法相方向就是光线的方向。所以根据惠更斯原理，它解释了波面的形成，也解释了光的传播方向改变这一现象。最重要的贡献是引入了次波的概念。
【惠更斯-菲涅耳原理】某一时刻波面上任意一点都是产生次波的新波源，次波波源来源于同一光源。因此它们是彼此相干的。波阵面外任意一点光振动是波面上所有子波在 $P$ 点的相干叠加。
次波 + 次波干涉 -> 光的衍射现象
我们之前讲的干涉都是有限光束的干涉，而衍射是无穷多束光的干涉。
【惠更斯-菲涅耳原理的数学表达式】
点光源 $S$ 在 $\Sigma$ 上某点 $Q$ 的复振幅：
\[\tilde{E}_Q=\frac{A}{R}\cdot exp(ikR)\]$d\sigma$ 在 $p$ 点的复振幅：
\[d\tilde{E}(P)=K(\theta)\cdot\tilde{E}_Q\cdot\frac{exp(ikr)}{r}d\sigma\]$\frac{exp(ikr)}{r}$ 表示子波向 $P$ 点发出的球面波；而 $K(\theta)$ 是菲涅耳假设的一个系数，我们称之为倾斜因子，它是衍射角 $\theta$ 的函数。
波面 $\Sigma$ 在 $P$点产生的复振幅（惠更斯-菲涅耳数学表达式，积分曲面为球面）：
\[\tilde{E}(P)=\frac{CA}{R}exp(ikR)\iint_\Sigma K(\theta)\frac{ikr}{r}d\sigma\]如果用任意已知 $\tilde{E}(Q)$ 的孔径面代替波面 $\Sigma$，则可得 $P$ 点的衍射分布为
\[\tilde{E}(P)=C\iint_\Sigma\tilde{E}_Q\frac{exp(ikr)}{r}K(\theta)d\sigma\]上式原则上可以计算任意形状的孔、屏的衍射。
【惠-菲原理的缺陷】
- 人为假设了 $K(\theta)$，但 $K(\theta)$ 没有确切的表达式；
- 次波与次波干涉概念，未与基本理论相联系。
2. 菲涅耳-基尔霍夫衍射公式及衍射分类
2.1 菲涅耳-基尔霍夫 衍射公式
- 基尔霍夫衍射积分定理（数学上的格林定理为其理论基础）：波源在某一衍射场点 $P$ 引起的波振动，取决于包围 $P$ 点的封闭曲面上各部分在该点引起的波动的叠加（次波叠加的理论基础）。
- 边值条件：1）开孔面上的复振幅分布由入射波决定，忽略衍射屏的存在；2）在屏的不透明部分，其复振幅为零。
菲涅耳-基尔霍夫 衍射公式如下：
\[\tilde{E}(P)=\frac{1}{i\lambda}\iint_\Sigma\frac{Aexp(ikl)}{l}\frac{exp(ikr)}{r}[\frac{cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{r})-cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{l})}{2}]d\sigma\]
$l$ 和 $R$ 之间有一个微小的差。
可见之前式子中的倾斜因子 $K(\theta)$ 如下：
\[K(\theta)=\frac{cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{r})-cos(\overrightarrow{n},\overrightarrow{l})}{2}\]子波的复振幅与 $K(\theta)$ 成正比，与 $\lambda$ 成反比。
由菲涅耳-基尔霍夫衍射公式我们可以看出，如果令 $C=\frac{1}{i\lambda},~\tilde{E}(Q)=\frac{Aexp(ikl)}{l}$，我们可以发现此表达式与惠更斯-菲涅尔原理的表达式相同。
菲涅耳-基尔霍夫 衍射公式揭示了：
- $P$ 点的复振幅是 $\Sigma$ 波面上无穷多个虚设的球面次波在该点的复振幅的叠加：
- $\frac{i}{i}=exp(-i\frac{\pi}{2})$：表示子波振动相位超前入射波 $\frac{\pi}{2}$。
- 给出了 $K(\theta)$ 的表达式，表明次波的振幅与 $K(\theta)$ 即衍射方向有关。
若波面的曲率半径足够大，则有
\[\frac{exp(ikl)}{l}\approx\frac{exp(ikR)}{R}\]当光源置于轴上无穷远处时（或光近似正入射时）
Fresnel-Kirchhoff 衍射积分公式可以简化为：
\[\tilde{E}(P)=\frac{-i}{2\lambda}A\frac{exp(ikR)}{R}\iint_W\frac{exp(ikr)}{r}(1+cos\theta)d\sigma\]【Kirchhoff 衍射理论（标量衍射理论）】只考虑电磁场的一个横向分量的复振幅分布，且假设任何别的分量可用同样的方法独立处理。实际上，电磁场各分量通过麦氏方程联系，不独立。
然而实验研究表明，只要满足下面两个条件，标量衍射理论就可以得到满意的结果：1）衍射孔径 » 波长；2）观察点离孔径不太近。其中条件1是非常容易满足。对于不能满足上述两个条件的情况，光波必须作为矢量来考虑——矢量波衍射理论。
【Kirchhoff 近似下的衍射分类】
平面波正入射时：
\[\tilde{E}(P)=\frac{-i}{\lambda}\cdot\iint_\Sigma\tilde{E}(Q)\frac{1}{2}(1+cos\theta)\cdot\frac{exp(ikr)}{r}d\sigma\]- 旁轴近似：$r$变化对振幅的影响可忽略，（横向的差远小于纵向的距离，则 $cos\theta\approx1$），则有
- $r$ 的变化对相位的影响不可略。
- 设定孔径函数
\[\tilde{E}(P)=\frac{-i}{\lambda z_1}A\iint_孔\tilde{E}(x_1,y_1)exp(ikr)dx_1dy_1\]我们就可以把整个面上的积分化简为仅对孔径透光部分的积分。
然后使用菲涅耳近似将 $exp(ikr)$ 中的 $r$ 表示成 $(x,y,z)$ 的函数。
菲涅耳近似条件：$\frac{2\pi}{\lambda}\cdot\frac{[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]^2_{max}}{8z_1^3}«\pi$；
菲涅耳衍射区：$z_1^3»\frac{1}{4\lambda[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]^2_{max}}$；
菲涅耳衍射积分公式（椭圆积分）：
光垂直入射时，$\tilde{E}_0(x_1,y_1)=1$，则 $\tilde{E}(x_1,y_1)=\tilde{t}(x_1,y_1)$。
再使用夫琅和费近似对 $r$ 继续展开，最后可得在夫琅和费衍射区内，
光垂直入射时，同样代入 $\tilde{E}(x_1,y_1)=\tilde{t}(x_1,y_1)$。
夫琅和费衍射场的复振幅分布，可以由照明光场或 $\tilde{t}(x_1,y_1)$ 的复振幅分布的傅氏变换求出。
菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的区别：
- 菲涅尔衍射：波面曲率不可忽略，衍射光强的大小范围及形式随距离变化而变化；
- 夫琅和费衍射：波面曲率可忽略，衍射光强的大小范围随距离变化而变化，但形式不变。
下图是不同距离观察到的菲涅耳衍射实际拍摄到的照片：
