《光学工程基础》清华大学（25）- 物理光学（光学成像系统的衍射和分辨本领）
1. 在像面观察的夫琅和费衍射
$L$是一个透镜，孔径面 $x_1,y_1$到像面 $x,y$的距离有限，$R$为孔径面到像面的距离。为了计算像面 $x,y$上的复振幅公式，我们使用菲涅耳衍射公式：
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{exp(ikR)}{i\lambda R}\iint_\Sigma\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left\{i\frac{k}{2R}[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]\right\}dx_1dy_1\]孔径受汇聚球面波照明，在菲涅耳近似下，孔径面上的复振幅分布 $\tilde{E}(x_1,y_1)$为：
\[\tilde{E}(x_1,y_1)=\frac{A}{R}exp(-ikR)\cdot exp\left[-\frac{ik}{2R}(x_1^2+y_1^2)\right]\]结合上面二式，我们可以化简得到新的表达式
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{A}{i\lambda R}exp\left[\frac{ik}{2R}(x^2+y^2)\right]\cdot\iint_\Sigma exp\left[-ik(\frac{xx_1}{R}+\frac{yy_1}{R})\right]dx_1dy_1\]- 从表达式可以知道，成像系统对近处点物在像点所成的衍射像，等价于平面波入射时，在 $f=R$的透镜焦面上产生的孔径夫琅和费衍射分布。
- 这种公式也说明了一种用会聚波照明在像面得到孔径频谱的方法（因为它是一个孔径面的傅里叶变换，所以它得到的是孔径的频谱）。
2. 成像系统的分辨本领
【光学系统的有限孔径与衍射光斑】对于一个无像差的光学系统，对于点物所成的像不是一个点而是一个衍射光斑。这个衍射光斑中的光强分布与系统孔径的夫琅和费衍射图样完全相同。
设通光孔直径为 $D$，爱里斑的半径：$r_0=\frac{1.22\lambda}{D}f'$；当对点源成像时，衍射斑在其像面上，爱里斑的半径：$r_0=\frac{1.22\lambda}{D}R$。
由于衍射现象的存在，光学系统分辨细小物体的本领就是有限的。计算分辨本领的方法为瑞利判据。
【瑞利判据】一个像点的衍射斑主极大与另一像点衍射的第一极小重合。
两物点之角半径 $\alpha\ge$ 点物衍射的角半径 $\theta$，则两点物可分辨。
【典型光学系统的分辨本领】
- 人眼的最小可分辨角 $\alpha_e=\frac{1.22\lambda}{D_e}$，其中 $D_e$为人眼的瞳孔的直径。
- 望远物镜最小可分辨角 $\alpha=\theta_0=\frac{1.22\lambda}{D_T}$，其中 $D_T$为物镜孔径。
望远镜的作用是角度的放大，角度放大率 $M=\frac{\alpha_e}{\alpha}=\frac{D_T}{D_e}$
- 照相物镜分辨本领 $R$。照相物镜可以视为圆孔夫琅和费衍射，可分辨时，焦面上衍射斑大小为 $\epsilon'=f'\theta_0=1.22\cdot f'\cdot\frac{\lambda}{D}$，底片的分辨率 $N=\frac{1}{\epsilon'}=\frac{D}{1.22f'\lambda}$(lp/mm)，单位为线对数每毫米。
- 显微物镜的最小可分辨距 $\epsilon$。显微物镜是有限距离的点物成像，所以像面式孔径的夫琅和费衍射像 $r_0=l'\theta_0=1.22\frac{l'\lambda}{D}$，像方的最小分辨率 $\epsilon'=r_0=1.22\frac{l'\lambda}{D}$。
- 显微物镜成像满足的阿贝正弦条件：$n\epsilon sin u=n'\epsilon'sinu'$ 以及 $sinu'\approx u'=\frac{D}{2l'}$；
- 利用阿贝正弦条件，我们可得最小分辨距离 $\epsilon=\frac{n'\epsilon'sinu'}{nsinu}=1.22\frac{l'\lambda}{D}\cdot\frac{sinu'}{nsinu}$，即得最小分辨距离 $\epsilon=\frac{0.61\lambda}{nsinu},nsinu=NA$。
提高显微镜分辨本领的途径：1）增大数值孔径 $NA$；2）减小波长 $\lambda$。
电子显微镜用加速的电子束代替光束，电子束波长 $\lambda=0.1nm$，分辨本领提高 $10^3$，所以我们用它来观察分子结构。