《光学工程基础》清华大学（27）- 物理光学（菲涅耳衍射）

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1. 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射

【图】菲涅耳衍射

菲涅耳衍射也称为球面波衍射，球面波衍射的时候，可以用菲涅耳衍射积分公式求取，比较复杂，于是我们使用菲涅耳波带法来处理菲涅耳衍射。

1.1 菲涅耳波带法

目的：求取光源 $S$ 发出的波面在 $P$ 点产生的衍射分布。

波带分法：$\Sigma$为球面波面连接 $S$、$P$交波面 $\Sigma$上 $O$点以 $P$点为中心。

以 $r_1+j\lambda/2$为单位划分波面成许多环带，相邻环带的相应点到 $P$点的光程差为半波长。$P$点的复振幅为 $\Sigma$面上，所有波带发出的次波在 $P$点产生的复振幅的叠加。

观察第 $j$个波带在 $P$点的复振幅 $a_j$：

\[a_j=[(r_1+j\frac{\lambda}{2})^2-r_1^2]^{1/2}\approx\sqrt{jr_1\lambda}\]

波带的面积：

\[A_j-A_{j-1}=\pi(a_j^2-a_{j-1}^2)\approx\pi r_1\lambda\]

通过上式计算波带的面积，我们可以发现，圆孔情况下，各波带面积相等，与波带序数无关。

由于 $r»\lambda$，对于同一波带 $K(\theta)$ 可视为常数。则由菲涅耳原理，第 $j$个波带发出次波在 $P$点的复振幅：

\[\tilde{E}_j(P)=c\frac{Aexp(ikR)}{R}K_j(\theta)\iint_{\Sigma_1}\frac{exp(ikr)}{r}d\delta\]

因为波带等面积，每一波带在 $P$点产生的光波复振幅由于倾斜因子的作用，有：

\[|\tilde{E}_1|>|\tilde{E}_2|>|\tilde{E}_3|>|\tilde{E}_4|···\]

如果圆孔内包含 $n$个波带，则

\[\begin{aligned} \tilde{E}_p&=\tilde{E}_1+\tilde{E}_2+···+\tilde{E}_n\\ &=|\tilde{E}_1|-|\tilde{E}_2|+|\tilde{E}_3|-|\tilde{E}_4|···|\tilde{E}_n|\\ &=\begin{cases} \frac{|\tilde{E}_1|}{2}+(\frac{|\tilde{E}_1|}{2}-|\tilde{E}_2|+\frac{|\tilde{E}_3|}{2})+···+(\frac{|\tilde{E}_{n-2}|}{2}-|\tilde{E}_{n-1}|+\frac{|\tilde{E}_{n}|}{2})+\frac{|\tilde{E}_{n}|}{2},&n为奇\\ \frac{|\tilde{E}_1|}{2}+(\frac{|\tilde{E}_1|}{2}-|\tilde{E}_2|+\frac{|\tilde{E}_3|}{2})+···+(\frac{|\tilde{E}_{n-3}|}{2}-|\tilde{E}_{n-2}|+\frac{|\tilde{E}_{n-1}|}{2})+\frac{|\tilde{E}_{n-1}|}{2}-|\tilde{E}_{n}|,&n为偶 \end{cases}\\~整理可得\\ \tilde{E}_p&=\begin{cases} \frac{|\tilde{E}_1|}{2}+\frac{|\tilde{E}_{n}|}{2},&n为奇\\ \frac{|\tilde{E}_1|}{2}+\frac{|\tilde{E}_{n-1}|}{2}-|\tilde{E}_{n}|\approx\frac{|\tilde{E}_1|}{2}-|\tilde{E}_{n}|,&n为偶 \end{cases} \end{aligned}\]

最右的紫线为总的复振幅。

最终可得 $\tilde{E}_p$总的表达式：

\[\tilde{E}_p=\frac{1}{2}(|\tilde{E}_1|\pm|\tilde{E}_n|)\]

下面讨论 $\tilde{E}_p$的影响因素：

  1. $P$点的复振幅与强度取决于圆孔包含的波带数目与奇偶；
    1. n为奇（偶）时，轴上P点为亮（暗）点；
    2. 序号小的光强大。
  2. $P$点在轴上移动（$r_1$变化）或圆孔大小变化，轴上P点强度发生明暗变化，这是菲涅耳衍射的特点；
  3. 当孔很大时（即光不受阻挡自由传播时）$n\to\infty,\lvert \tilde{E}_n\rvert \to0$，当$n$很大时，$\lvert\tilde{E}_p\rvert =\frac{1}{2}\lvert \tilde{E}_1\rvert ,I_p=\frac{1}{4}I_1$。（即$P$点处的复振幅等于第一个波带在$P$点的复振幅的$\frac{1}{2}$；
  4. 当圆孔不太大（$n$不太大）时，$\lvert\tilde{E}_1\rvert = \lvert \tilde{E}_n\rvert$，则有$\tilde{E}_p=\frac{1}{2}(\lvert \tilde{E}_1\rvert \pm\lvert \tilde{E}_n\rvert)$。

1.2 圆孔和圆屏（盘）的菲涅耳衍射

【圆孔的菲涅耳衍射】

【圆盘的菲涅耳衍射】

圆盘的菲涅耳衍射图样：明暗相间的同心圆环，中心一般为亮点，亮暗程度与圆盘大小以及观察点的距离有关。中间的那个亮点称为“泊松亮点”。

圆屏很大时，$\tilde{E}_p=0$（这也是我们几何光学的结论，几何光学是我们物理光学的一种近似）。

2. 菲涅耳透镜

菲涅尔透镜也称为“波带片”。

【菲涅耳透镜的聚光作用】

前面所说的菲涅尔波带法只是处理近距离的孔径衍射的一种方法，而菲涅尔透镜是一种实实在在的物理存在，是一个特殊的光阑。这个特殊的光阑是我们用菲涅尔波带法做出来的一个透光不透光相间的一个器件，其功能是具有很强的聚光作用。满足等光程条件，为同相位相加，故而具有很强的聚光作用。

按数学方法处理，挡住奇数（或偶数）的波带，留下偶数（或奇 数）的波带，就达到了同相位相加的效果。

举个例子，如果分为20个波带，10个波带露出，则

\[\begin{aligned} P点的复振幅：&|\tilde{E}_p|=10|\tilde{E}_1|\\ p点的光强：&I_p=100|\tilde{E}_1|^2=100I_1\\ 无衍射屏时P点强度：&I_p=(\frac{|\tilde{E}_1|}{2})=\frac{1}{4}I_1 \end{aligned}\]

对比上面后两个式子可知，$P$点的强度是无衍射时 $P$点强度的 $400$倍，所以我们说菲涅尔透镜具有聚焦的作用。

下面是一些菲涅耳透镜：

【菲涅耳透镜的成像作用】

波带片具有一般透镜的成像功能。我们设 $a_j$为波带片（圆孔）半径，则可以证明下面的透镜成像公式（证明时适用勾股定律）：

\[\frac{1}{l}+\frac{1}{l'}=\frac{j\lambda}{a_j^2}~~\rightarrow~~\frac{1}{l}+\frac{1}{l'}=\frac{1}{f }\]

与一般透镜特点相比较，菲涅耳透镜特点：

  • 特点一：具有一般透镜的聚焦、成像作用；
  • 特点二：有多个实焦点和虚焦点；

除主焦距 $f$ 外，对应 $\frac{f}{3},\frac{f}{5},\frac{f}{7}···$ 位置处有一系列次焦点与实焦面对称，还有一系列虚焦点存在 $-f,-\frac{f}{3},-\frac{f}{5}···$ 。

  • 特点三：焦距与波长成反比：
\[f=\frac{a_j^2}{j\lambda}\]

$f\sim 1/\lambda$ 为反常色散，色差明显；而一般透镜 $f\sim\lambda$，两者结合，有利于消除色差。

  • 特点四：二元位相型菲涅尔透镜，可以提高光能利用率。

二元位相型菲涅耳透镜的制作方法：照相复制法，由 $a_j^2=j\lambda f$作$j\sim a_j$图，照相微缩。