《光学工程基础》清华大学（28）- 物理光学（傅立叶光学）
傅里叶光学是近代光学的一个学科分支，它采用傅里叶分析和线性系统理论研究光学问题，包括光的传播、衍射、成像和变换等。光学系统本质上是传输和采集信息的系统，傅里叶光学采用通讯和信息理论的方法，在二维空间域或者是空间频域讨论光学系统的特性，利用空间脉冲响应和传递函数等概念。傅里叶光学是信息光学的一个理论基础。
光学系统和通讯系统的区别和联系：
- 区别：两者研究的信号的特点。通讯系统主要处理的是一维的随时间变化的电信号；光学系统处理的主要是二维空间变化的光学图像。具有时间不变性。
- 联系：都是用来传递和变换信息。具有空间不变性。
1. 平面波的复振幅分布和空间频率、复杂复振幅及其分解
1.1 平面波的复振幅分布和空间频率
复振幅分布
\[\tilde{E}(z)=\tilde{E}_0exp(i\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{z})=Aexp(i\frac{2\pi}{\lambda}z)\]是一个光波的复振幅，这个式子中没有时间因子，只考虑到空间的分布，它是一个空间周期的分布，周期等于波长 $\lambda$，空间频率为 $1/\lambda$。如果我们要表示要沿任意方向传播的平面波，则可以使用方向余弦来表示：
\[\tilde{E}(x,y,z)=Aexp[ik(xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma)]\]在光学系统中，我们经常要考察一个平面上的复振幅分布。观察下图，
图中表示的是一个平面波在$z=z_0$的平面上截取时得到的分布。左子图中的虚线表示的是相位依次相差 $2\pi$的等相位线，我们将 $z=z_0$代入前面的表达式，可得单色平面波在 $z=z_0$平面上的复振幅表达式：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y,z)&=Aexp\left(i\frac{2\pi}{\lambda}z_0cos\gamma\right)exp\left[i\frac{2\pi}{\lambda}(xcos\alpha+ycos\beta)\right]\\&=A'exp\left[i\frac{2\pi}{\lambda}(xcos\alpha+ycos\beta)\right] \end{aligned}\]如果相位等于常数 $C$，我们就可以得到一个等相位线方程：
\[xcos\alpha+ycos\beta=C\]- $x$方向周期：$d_x=\frac{\lambda}{cos\alpha}$
- $y$方向周期：$d_y=\frac{\lambda}{cos\beta}$
空间频率（相应方向周期的倒数）确定了平面光波的空间传播方向和相应的空间周期分布。下面是$x,y$方向上的空间频率：
- $x$方向空间频率：$u=\frac{1}{d_x}=\frac{cos\alpha}{\lambda}$
- $y$方向空间频率：$v=\frac{1}{d_y}=\frac{cos\beta}{\lambda}$
如果用余角表示，则空间频率可以表示为：
- $x$方向空间频率：$u=\frac{sin\theta_x}{\lambda}$
- $y$方向空间频率：$v=\frac{sin\theta_y}{\lambda}$
如果用空间频率表示复振幅分布，则可简化复振幅分布表达式：
\[\tilde{E}(x,y)=A'exp[i2\pi(ux+vy)]\]1.2 单色波场中复杂复振幅及其分解
图中，衍射屏对光波起了一个调制作用，光波经过衍射屏会发生一个变化。
衍射屏对光波的调制作用可以用衍射屏的复振幅透射系数 $t$来表示，则透过衍射屏的光场为
\[\tilde{E}(x_1,y_1)=\tilde{E}_0(x_1,y_1)t(x_1,y_1)\]衍射传播公式为：
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{1}{i\lambda}\iint_{(\Sigma_0)}\tilde{E}(x_1,y_1)\frac{e^{ikr}}{r}dxdy\]透射系数 $t(x_1,y_1)$表达式为：
\[t(x_1,y_1)=\left|t(x_1,y_1)\right|exp[i\varphi(x_1,y_1)]\]- 振幅型衍射屏：$\varphi(x_1,y_1)=const$
-
相位型衍射屏：$\left t(x_1,y_1)\right =const$
缝宽为 $a$的狭缝及透视系数分布：
\[\tilde{E}(x,y)=\tilde{t}(x,y)=rect\left(\frac{x}{a}\right)=\begin{cases} 1,\left|x\right|\le a/2\\0,其他 \end{cases}\]
边长为 $a$和 $b$的矩孔及透射系数分布：
\[\tilde{E}(x,y)=\tilde{t}(x,y)=rect\left(\frac{x}{a}\right)rect\left(\frac{y}{b}\right)=\begin{cases} 1,\left|x\right|\le a/2,\left|y\right|\le b/2\\0,其他 \end{cases}\]
半径为 $a$的圆孔及透射系数分布：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y)&=\tilde{t}(x,y)=circ(\frac{x}{a})\\&=circ(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{a})=\begin{cases} 1,\sqrt{x^2+y^2}\le a\\0,其他 \end{cases} \end{aligned}\]
矩形振幅光栅及透射系数分布：
\[\tilde{E}(x,y)=\tilde{t}(x,y)=\sum_{n=-(N-1)/2}^{(N-1)/2}rect(\frac{x+nd}{a})\]
正弦振幅光栅及透射系数分布：
\[\tilde{E}(x,y)=\tilde{t}(x,y)=\left[\frac{1}{2}+\frac{m}{2}cos(2\pi u_0x)\right]rect(\frac{x}{w})\]
单色光波，经过上面五种衍射屏，都会引起一个复杂的复振幅变化，对复振幅分布我们可以用傅里叶变换进行分析。根据傅立叶变换定理，$xy$平面上的复振幅分布 $E(x,y)$可以分解为无数个形式为e指数基元线性函数 $exp[i2\pi(ux+vy)]$ 的组合:
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y)&=\iint\tilde{E}(u,v)exp[i2\pi(ux+vy)]dudv\\&=\mathcal{F}^{-1}[\tilde{E}(u,v)] \end{aligned}\]空间频谱：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(u,v)&=\iint\tilde{E}(x,y)exp[-i2\pi(ux+vy)]dxdy\\&=\mathcal{F}[\tilde{E}(x,y)] \end{aligned}\]2. 光波衍射的傅里叶分析方法
【空间域分析法】在空间域中讨论输出平面上光的复振幅（或光强）分布相对输入面上光的复振幅（或光强）分布之间的变化。
【频率域分析法】先将输入面上光波的复振幅分解为具有不同空间频率的平面波的线性叠加，在频域中讨论各平面波的变化。
焦面的复振幅分布刚好为衍射屏的复振幅分布的傅里叶频谱。
夫琅和费衍射和傅里叶变换的联系：
- 夫琅和费衍射系统是傅里叶频谱分析器，可以实现二维图像傅里叶变换模拟运算；
- 图像上所有点的数据同时进入衍射系统，同时被计算，结果同时输出，计算过程是并行的，运算速度远远高于电子计算机的运行速度；
- 激光束通过衍射孔径或光学图片，其夫琅和费衍射“像”是孔径或图像的二维傅里叶变换。可将带宽、滤波、相关、卷积、传递函数等通信理念中的概念和方法移植到光学中。
夫琅和费衍射图样的特点：
- 1）衍射现象扩散程度与孔径大小成反比。
由傅里叶变换的相似定理
\[\mathcal[f(ax)]=\frac{1}{\left|a\right|}F\left(\frac{u}{a}\right)\]可知，物函数的尺寸缩小，使频谱函数的尺度放大，单频谱函数形式不变。对光的限制越严重，衍射现象越显著，呈现出反比的关系。
- 2）衍射屏在自身平面内移动不改变衍射图样的位置和形状。
根据傅里叶变换的位移定理
\[\mathcal{F}[f(x-x_0)]=F(u)exp(-i2\pi ux_0)\]可知，衍射屏在空域面上横向平移，不影响频谱面上的光场的复振幅分布，只是其相位有一线性变化，光强分布不变。
- 3）倾斜平面波照明衍射屏，使衍射图样产生平移。
由傅立叶变换的相移定理
\[\mathcal{F}[f(x_1)exp(i2\pi u_0x_1)]=F(u-u_0)\]可知单位平面波倾斜照明衍射屏，频谱面上的光场的形式不变，只产生横向平移。
【菲涅耳衍射的傅里叶变换处理】
菲涅耳近似下的衍射公式：
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{exp(ikz_1)}{i\lambda z_1}\iint_{-\infty}^{\infty}\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left\{\frac{ik}{2z_1}[(x-x_1)^2+(y-y_1)^2]\right\}dx_1dy_1\]通过对指数中的二次项展开，我们可以得到：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y)&=\frac{exp(ikz_1)}{i\lambda z_1}exp\left[\frac{ik}{2z_1}(x^2+y^2)\right]\iint_{-\infty}^{\infty}\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left[\frac{ik}{2z_1}(x_1^2+y_1^2)\right]exp\left[-i2\pi(\frac{xx_1}{\lambda z_1}+\frac{yy_1}{\lambda z_1})\right]dx_1dy_1\\&=\frac{exp(ikz_1)}{i\lambda z_1}exp\left[\frac{ik}{2z_1}(x^2+y^2)\right]\mathcal{F}\left\{\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left[\frac{ik}{2z_1}(x_1^2+y_1^2)\right]\right\} \end{aligned}\]从上式可以看出，菲涅尔衍射的复振幅分布是孔径平面复振幅分布和一个二次相位因子乘积的傅里叶变换，（而夫琅和费衍射就没有这个二次相位因子）。
【菲涅耳衍射区】菲涅耳傅里叶变换的二次相位因子 $exp[\frac{ik}{2z_1}(x_1^2+y_1^2)]$与 $z_1$有关。各频谱分量传播到观察面时，都将产生一个与频率与和距离有关的相移。变化相位的平面波分量线性叠加产生随 $z_1$变化的衍射场分布。
【夫琅和费衍射区】夫琅和费傅里叶变换没有二次相位因子。不同 $z_1$位置处的衍射场强分布相同。
3. 透镜的傅立叶变换性质
透镜的成像功能和傅里叶变换功能，使得它称为光学成像系统及信息处理中最基本最重要的原件。
透镜是由两个折射面包围的一种透明介质构成。由于透镜本身的厚度变化，使得入射光通过透镜不同厚度时，会产生不同的相位延迟，类似于一个相位物体的作用。如果不考虑透镜对光的反射和吸收，那么透镜只改变入射光波的空间相位分布，也就是说我们可以把透镜看成是一个相位的衍射屏。
透镜主要有会聚透镜和发散透镜，这里主要讨论会聚透镜。
可知
- $S$点发出发散球面波的复振幅：
- 向 $S'$点会聚球面波的复振幅：
则，透射函数 $t(x_1,y_1)$为
\[\begin{aligned} t(x_1,y_1)&=\frac{\tilde{E}(x,y)}{\tilde{E}'(x,y)}=exp[i\varphi(x_1,y_1)]\\&=exp\left[-i\frac{k}{2}(x_1^2+y_1^2)\left(\frac{1}{d}+\frac{1}{d_0}\right)\right]\\&=exp\left[-i\frac{k}{2}(x_1^2+y_1^2)\left(\frac{1}{f}\right)\right]\\&=exp\left[-ik\frac{x_1^2+y_1^2}{2f}\right] \end{aligned}\]期间使用了高斯成像公式：
\[\frac{1}{d}=\frac{1}{d_0}=\frac{1}{f}\]考虑孔径效应，即加入光瞳函数$P(x_1,y_1)$
\[P(x_1,y_1)=\begin{cases} 1,透镜孔径内\\0,其它 \end{cases}\]我们可以得到考虑孔径效应的透射函数
\[t(x_1,y_1)=P(x_1,y_1)\]3.1 透镜的傅立叶变换性质
- 1）情况一：衍射屏紧靠透镜。
后焦面复振幅（菲涅耳衍射）：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y)&=\frac{exp(ikf)}{i\lambda f}exp\left[i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)\right]\mathcal{F}\left\{\tilde{E}'(x,y)exp\left[i\frac{k}{2f}(x_1^2+y_1^2)\right]\right\}\\&=\frac{exp(ikf)}{i\lambda f}exp\left[i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)\right]\mathcal{F}\left\{\tilde{E}(x,y)exp\left[i\frac{k}{2f}(x_1^2+y_1^2)\right]exp\left[-i\frac{k}{2f}(x_1^2+y_1^2)\right]\right\}\\&=\frac{exp(ikf)}{i\lambda f}exp\left[i\frac{k}{2f}(x^2+y^2)\right]\mathcal{F}\left\{\tilde{E}(x,y)\right\}_{u=\frac{x}{\lambda f},v=\frac{y}{\lambda f}} \end{aligned}\]- 2）情况二：衍射屏置于靠透镜前一定距离。
相移因子：
\[H(u,v)=exp(ikd_0)exp[-i\pi\lambda d_0(u^2+v^2)]\]透镜前平面光场分布频谱：
\[\mathcal{F}\{\tilde{E}(x_2,y_2)\}=\mathcal{F}\{\tilde{E}(x_1,y_1)\}exp[-i\pi\lambda d_0(u^2+v^2)]\]透镜后焦面光场分布频谱：
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{1}{i\lambda f}exp\left[i\frac{k}{2f}\left(1-\frac{d_0}{f}\right)(x^2+y^2)\right]\mathcal{F}\{\tilde{E}(x_1,y_1)\}_{u=\frac{x}{\lambda f},v=\frac{y}{\lambda f}}\]衍射屏位于前焦面（$d_0=f$）：
\[\tilde{E}(x,y)=\frac{1}{i\lambda f}\mathcal{F}\{\tilde{E}(x_1,y_1)\}_{u=\frac{x}{\lambda f},v=\frac{y}{\lambda f}}\]3.2 透镜的成像性质
紧靠透镜后平面上的光场分布为：
\[\tilde{E}'(x_1,y_1)=t(x_1,y_1)=exp\left[-ik\frac{x_1^2+y_1^2}{2f}\right]\]是一个会聚于焦点 $F$的球面波。
透镜的成像本领，是透镜对入射光波的相位产生调制作用的一个结果。正是因为这个透镜的二次相位因子 $exp\left[-ik\frac{x_1^2+y_1^2}{2f}\right]$，可以是平面波变成球面波，也可以使物点发出的球面波会聚到像点上。也正是透镜的调制作用，使得物光场中的各个平面波的频率成分会聚到后焦面上，得到频谱。
透镜的相位调制作用不仅是透镜具有成像本领的根本原因，也是它能够用于傅里叶变换的根本原因。
实际光学成像系统，一般由多个透镜组合而成，只要成像系统具有把一个发散球面波变换为会聚球面波的性能，它就有一个和单个薄透镜相同的透射系数。
4. 相干成像系统分析及相干传递函数
传统几何光学的研究对象为望远镜、显微镜、照相系统等，它们的核心问题都是研究它们的成像特点及质量评价。
因为衍射、像差，点物经过光学系统会变成像斑。而拓展物体由一系列物点构成，像为所有物点的像斑的叠加；像与物不完全相似，会出现细节无法分辨、模糊、扭曲等像质变差的情况。
传统评价光学系统像质的方法有鉴别率法和星点法。但是鉴别率法和星点法不能反映成像过程的本质而受到限制。那么如何科学而全面的评价成像系统的好坏？从傅立叶光学的角度来看，物和像可以看作一系列空间频谱的线性叠加。
【光学系统的传递函数理论】定量的描述物频谱中的各个频率成分经过光学系统的传递情况，从本质上反映物象之间的变化。
传递函数理论能比较科学而全面地评价系统成像质量。
对于一个系统而言，只要知道了它的边端的性质，也就能够说明系统的性质，而不需要了解系统的内部情况。光学系统的边端指的就是它的入瞳和出瞳。
4.1 成像系统的线性和空间不变性
【线性系统】输入和输出都可以分解为简单信号的线性叠加。比如 $\delta$函数或者是余弦函数。每个信号经过系统都会得到一个响应，而输出就是所有响应的线性叠加。
- 相干成像系统对复振幅分布而言是线性系统。
- 非相干成像系统对强度分布而言是线性系统。
一个点物的光场可以用 $\delta$函数来表示，我们知道 $\delta$函数的傅里叶变换为 $1$，也就是说 $\delta$包含了所有空间频率成分的光场信息。研究它的各频率成分，进故宫系统后的变化情况，也就知道了成像系统的传递特性。现在我们考察点物的成像：
点物的光场可以用 $\delta$函数表示，$\delta$函数经系统“变换”后的输出为 $h(x',y')$，$h(x',y')$称为点扩散函数（PSF）。对于衍射受限的成像系统，PSF反映衍射的效应；对于有像差的成像系统，PSF反映系统衍射和像差的综合效应。上图是光瞳为圆形的衍射受限系统的点扩散函数，它实际上是衍射受限系统的PSF为出瞳的夫琅和费衍射的复振幅分布。
等晕区内，PSF对应于其像点位置，函数形式相同：
\[h(x',y';x,y)=h(x'-x,y'-y)\]也就是说，与相对位置有关，与绝对位置无关。不同位置的点物，其点扩散函数对应于其像点的位置。函数形式是相同的。这一性质我们称之为成像系统的空间不变性。
4.2 拓展物体的成像
物平面上连续物体的复振幅分布表达式：
\[o(x,y)=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty o(\xi,\eta)\delta(x-\xi,y-\eta)d\xi d\eta\]像平面上输出函数的表达式：
\[g(x',y')=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty o(\xi,\eta)h(x-\xi,y-\eta)d\xi d\eta\]如果用 $(x,y)$代替 $(\xi,\eta)$像面输出函数表达式变为：
\[g(x',y')=\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty o(x,y)h(x'-x,y'-y)dxdy\]按卷积的表达形式，上式可以写为：
$*$为卷积符号
4.3 相干传递函数（CTF）
空间域中成像系统物与像的成像关系式：
\[g(x',y')=o(x',y')*h(x',y')\]上式中的三个函数的傅里叶变换形式：
\[G_c(u,v)=\mathcal{F}\{g(x',y')\}\\ O_c(u,v)=\mathcal{F}\{o(x',y')\}\\ H_c(u,v)=\mathcal{F}\{h(x',y')\}\\\]相干成像系统中，空间频率的物理意义：一个物体可以看作一个复杂的衍射光栅，它的复振幅透射系数是 $t(x_1,y_1)$。在单色平面波照射下，会产生不同方向的衍射“级次”，“级次”越高，衍射角越大，$(u,v)$越小；物体中细节比粗线条“周期”小，同级次的衍射角大，$(u,v)$较大。
空间频率域中相干成像系统物与像的成像关系式：
\[G_c(u,v)=O_c(u,v)H_c(u,v)\]相干传递函数：
\[H_c(u,v)=\frac{G_c(u,v)}{O_c(u,v)}\]系统的成像关系在频率域中比在空间域中要简单得多。
- PSF为：$h(x',y')=\mathcal{F}{P(\lambda l'u,\lambda l'v)}$
- CTF为：$H_c(u,v)=\mathcal{F}{h(x',y')}=\mathcal{F}{\mathcal{F}[P(\lambda l'u,\lambda l'v)]}$
由傅里叶变换定量得：
\[H_c(u,v)=P(-\lambda l'u, -\lambda l'v)\]我们可以通过反向光瞳坐标轴将负号消去得到新的 CTF:
\[H_c(u,v)=P(\lambda l'u, \lambda l'v)\]光学成像系统可以看成是一个低通滤波器。
