《光学工程基础》清华大学（30）- 物理光学（光在晶体中传播）
1. 偏振光概述
3D眼睛的那一对镜片其实是一对互相垂直的偏振片。3D电影在拍摄时，用两台摄像机从两个不同的角度拍摄。放映的时候，用两台放映机同时放映两台摄像机拍摄的胶片：一台放映机放映左边摄像机拍摄的胶片，另一台放映机放映右边摄像机拍摄的胶片，两台放映机前分别加偏振片，偏振方向对应我们所戴的3D眼睛（偏振片）的方向。
1.1 偏振光与自然光
- 光的横波性：振动方向总是垂直于传播方向；
- 偏振光：光矢量的振动方向有何大小有规则地变化；
- 自然光：光矢量在一切可能的方向上振动几率和大小相同。
光波的三个特征参量：$\omega$，$k$，电矢量的振动方向。
\[\overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0cos(\omega t-kz+\delta)\\ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0exp[-i(\omega t-kz+\delta)]\]指数形式中，只有实数部分表示我们的光振动。
线偏振光的表示：任一偏振光 $\overrightarrow{E}$可以分解成两个线偏振光 $\overrightarrow{E}_x,\overrightarrow{E}_y(a_1,a_2,\delta)$。
\[\begin{aligned} \overrightarrow{E}=&\tilde{E}_x\overrightarrow{x}_0+\tilde{E}_y\overrightarrow{y}_0\\ \tilde{E}_x&=cos(\omega t-kz)\\&=a_1exp[-i(\omega t-kz)]\\ \tilde{E}_y&=cos(\omega t-kz+\delta)\\&=a_2exp[-i(\omega t-kz+\delta)] \end{aligned}\]【线偏振光】光矢量始终在一确定的方向上振动，其大小随相位变化的光。
【振动平面】光矢量与传播方向组成的平面。振动方向与 $a_1$和 $a_2$的比值有关。
【圆偏振光】光矢量的大小不变，方向规则变化，其适量末端的运动轨迹为圆。
\[\begin{aligned} a_1&=a_2\\ \tilde{E}&=a_1e^{-i(\omega t-kz)}\overrightarrow{x}_0+a_2e^{-i(\omega t-kz+\delta)}\overrightarrow{y}_0 \end{aligned}\]- $\delta=\frac{\pi}{2}$ 右旋圆偏振光
- $\delta=-\frac{\pi}{2}$ 左旋圆偏振光
【圆偏振光的旋向规定】迎着光的方向去看，合矢量的方向随着时间顺时针旋转的为右旋圆偏振光，随时间逆时针转的为左旋圆偏振光。
【椭圆偏振光】其光矢量的大小、方向规则变化，其矢量末端的运动轨迹为椭圆。
\[\begin{aligned} a_1&\ne a_2\\ \tilde{E}&=a_1e^{-i(\omega t-kz)}\overrightarrow{x}_0+a_2e^{-i(\omega t-kz+\delta)}\overrightarrow{y}_0 \end{aligned}\]- $0<\delta<\pi$ 右旋；
- $\pi<\delta<2\pi$ 左旋。
偏振矢量的旋向和判断方法：根据旋向的规定，我们可以利用光场的表达式，带入两个特殊的时间点，看看它们矢量的变化方向，就可以判断这个场是左旋还是右旋。
比较常用的是：$t_0$和 $t_0+\frac{T}{4}$，其中 $t_0$使得$\omega t_0-kz=0$。
【部分偏振光】某一方向的光振动比其它方向的振动占优势的偏振态，用偏振度 $P$来表示某一方向的振动比其它方向占优势的程度。
\[偏振度~~~P=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}\]1.2 马吕斯定律
马吕斯定律：强度为 $I_0$的线偏振光，透过偏振片后，如果不考虑吸收，透射光的强度为入射光的强度 $I_0$ 乘以 $cos\alpha$ 的平方，即
\[I=I_0cos^2\alpha\]其中 $cos\alpha$为两线偏振光和检偏器之间的夹角。
偏振器透光轴：允许透过光矢量的方向。
如果以自然光入射的光强为 $I_0$计算，透过偏振片的强度应该为 $\frac{I_0}{2}cos^2\theta$，因为通过起偏器变成线偏振光的时候损失了一半的能量。
评价偏振片兴能的主要参数：
- 最大透射率
- 消光比（偏振度）
消光比越大，偏振片质量越好。
2. 光在晶体中的传播
2.1 晶体的双折射现象
此处的晶体是指各项异性介质，所谓各向异性介质是光学性质、光学常数依赖于光波传播方向和偏振状态的物质，对两个互相垂直振动矢量的光，光学各向异性介质的折射率$n$不同，因而产生两束折射光：其中一束遵从折射定律，在入射面内我们称之为 $o$光；另一束不遵从折射定律，一般不在入射面内的光，我们称之为 $e$光。
- $o$光和$e$光与晶体不可分。离开晶体而言，它们只是振动方向不一样，只要在晶体中它们才有$o$光和$e$光的区别。
- 折射定律的含义：1）界面两侧频率相同；2）入射光线、折射光线与法线共面；3）角关系：$\frac{sin i_1}{sin i_2}=n_{21}=\frac{v_1}{v_2}$
2.2 晶体特性
【光轴】双折射晶体中的一个特殊方向，光束沿光轴方向传播时不发生双折射（光轴方向上，o光和e光都遵守折射定律，且 $n_o=n_3$，o光和e光的 $k,v$均相同）。另外要说明的是：光轴是一个方向，而不是某一条特定的线。
【主截面】光轴和晶体表面法线确定的平面。
晶体表面貌似是认为可以改变的，其实不然。晶体的表面都是由晶面组成，就是一个晶体的结晶面。它跟其他方向的力是不一样的，所以切割的时候，只有沿着晶面切割，用最小的力才可以把他切开。其它的面力用大的时候晶面就破碎了。所以晶面由晶体本身决定，而不是认为的。
- 当光线在主截面入射（不与光轴重合）时，o光和e光都在主截面内，但 $n_0\ne n_e$。
- 光线不在主截面内入射时，o光和e光一般不同面。
【主平面】光线和光轴组成的面。o光振动方向垂直于o光主平面，e光振动方向在e光主平面内。入射光在主截面内时，o光、e光主平面均为主截面。故而在实际使用时，我们一般都会取入射面与主截面重合，此时入射光o光e光都在主截面内。
【晶体的各向异性】$v_o>v_e$为正晶体；$v_o<v_e$为负晶体。
【晶体的介电张量】
\[\overrightarrow{D}=\epsilon\overrightarrow{E}\]在各向同性媒质中，$\epsilon$是常数，可知 $\overrightarrow{D}\parallel\overrightarrow{E}$。
在各向异性媒质中，不同方向光波电矢量的 $\epsilon$ 值不同，$\epsilon$ 为二阶张量，称为介电张量
\[[\epsilon]=[\epsilon_{ij}],\\~\\ \left[\begin{matrix} D_x\\ D_y\\ D_z \end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} \epsilon_{xx}&\epsilon_{xy}&\epsilon_{xz}\\ \epsilon_{yx}&\epsilon_{yy}&\epsilon_{yz}\\ \epsilon_{zx}&\epsilon_{zy}&\epsilon_{zz} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} E_x\\ E_y\\ E_z \end{matrix}\right]\]在晶体中，我们可以找到$x,y,z$三个互相垂直的三个方向（晶体的主轴方向），建立（主轴）坐标系，使得 $[\epsilon_{ij}]$ 为一对称张量：
\[[\epsilon_{ij}]=\left[\begin{matrix} \epsilon_x&0&0\\0&\epsilon_y&0\\0&0&\epsilon_z \end{matrix}\right]\]其中，$(\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z)$为主介电常数。
主轴坐标系中，$\overrightarrow{D}$表示为
\[\left\{\begin{matrix} D_x=\epsilon_xE_x\\ D_z=\epsilon_yE_y\\ D_z=\epsilon_zE_z \end{matrix}\right.\]结论：在各向异性晶体中，由于 $\epsilon_x\ne\epsilon_y\ne\epsilon_z,\overrightarrow{D}\nparallel\overrightarrow{E}$，仅当 $\overrightarrow{E}$沿着主轴之一方向时，$\overrightarrow{D}\parallel\overrightarrow{E}$。
- 光学各向同性晶体：$\epsilon_x=\epsilon_y=\epsilon_z$
- 单轴晶体：$\epsilon_x=\epsilon_y\ne\epsilon_z$
- 双轴晶体：$\epsilon_x\ne\epsilon_y\ne\epsilon_z$
3. 单色平面波在晶体中的传播
我们主要利用麦克斯韦方程和晶体中的物质方程来分析单色光波的传播特点。
3.1 法线速度、光线速度
晶体中一单色平面波：
\[\left\{\begin{matrix} \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E}_0exp[-i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})]\\\overrightarrow{H}=\overrightarrow{H}_0exp[-i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})]\\\overrightarrow{D}=\overrightarrow{D}_0exp[-i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})] \end{matrix}\right.\]将上述式子代入麦氏方程和物质方程：
\[\bigtriangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}~~\bigtriangledown\cdot\overrightarrow{D}=0\\ \bigtriangledown\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}~~\bigtriangledown\cdot\overrightarrow{B}=0\\ \overrightarrow{D}=\epsilon\overrightarrow{E}~~\overrightarrow{B}=\mu\overrightarrow{H}\]可以得到四个表达式：
\[\left.\begin{aligned} \overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}=\omega\mu\overrightarrow{H}\\\overrightarrow{k}\times\overrightarrow{H}=-\omega\overrightarrow{D}\\\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{D}=0\\\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{H}=0 \end{aligned}\right\}\Rightarrow\left\{\begin{aligned} \overrightarrow{H}\perp\overrightarrow{k},\overrightarrow{E}\\\overrightarrow{D}\perp\overrightarrow{k},\overrightarrow{H} \end{aligned}\right.\]$\overrightarrow{D},\overrightarrow{H},\overrightarrow{k}$彼此垂直，成一右手螺旋。而**波印延矢量 **$\overrightarrow{S}=\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{H}$，可知 $\overrightarrow{S},\overrightarrow{E},\overrightarrow{H}$同样成右手螺旋。
故而 $\overrightarrow{D},\overrightarrow{E},\overrightarrow{k},\overrightarrow{S}$ 在同一垂直于 $\overrightarrow{H}$ 的平面内。
【结论】晶体中传播的电磁波，由于 $\overrightarrow{D}\nparallel\overrightarrow{E}$，波的传播方向 $\overrightarrow{k}_0$（法线）与能流（光线）方向 $\overrightarrow{S}_0$ 不一致，即能量不沿波法线方向传播。
【波法线速度（相速度）】
\[v_k=\frac{c}{n}=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}=\frac{\omega}{k}\]光线速度与 $\overrightarrow{S}_0$ 对应的能量传播速度
\[v_s=\frac{v_k}{cos\alpha}\]【光线折射率】（能量折射率）
\[n_s=\frac{c}{v_s}=ncos\alpha\]3.2 光在晶体中传播的菲涅耳方程
矢量运算规则：$\overrightarrow{A}\times(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{C})=\overrightarrow{B}\times(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{C})-\overrightarrow{C}\times(\overrightarrow{A}\cdot\overrightarrow{B})$
晶体中传播的菲涅耳方程 $\overrightarrow{k}_0\sim v_k,n$
利用 $v_k=v_scos\theta$，可得：
\[\begin{aligned} \overrightarrow{E}&=\frac{1}{\epsilon_0n_s^2}[\overrightarrow{D}-(\overrightarrow{D}\cdot\overrightarrow{S}_0)\overrightarrow{S}_0]\\&=\frac{v_s^2}{\epsilon_0c^2}[\overrightarrow{D}-(\overrightarrow{D}\cdot\overrightarrow{S}_0)\overrightarrow{S}_0] \end{aligned}\]上述两个方程都称为菲涅耳方程，它是表示晶体光学性质的基本方程，决定着电磁波在晶体中传播的特性。
- 主介电常数：$\epsilon_x,\epsilon_y,\epsilon_z$
- 相应主折射率：$n_x,n_y,n_z$
- 相对介电常数：$\epsilon_{rx},\epsilon_{ry},\epsilon_{rz}$
将上式代入菲涅耳方程我们可以写出矢量 $\overrightarrow{D}$ 对应的三个分量 $D_x,D_y,D_z$。
利用关系式 $\overrightarrow{D}\cdot\overrightarrow{k}_0=0$，有
\[\frac{k_{ox}^2}{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\epsilon_{rx}}}+\frac{k_{oy}^2}{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\epsilon_{ry}}}+\frac{k_{oz}^2}{\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\epsilon_{rz}}}=0\\(\overrightarrow{k}\sim n~关系式)\]给定 $\overrightarrow{k}_0$，我们可以求出折射率 $n$。（其中 $$为晶体固有的）
【主传播速度（非磁性介质）】
\[v_i=\frac{c}{\sqrt{\epsilon_i}}~~(i=1,2,3)\]将上式代入前面的 $(\overrightarrow{k}\sim n)$ 表达式中，我们可以得到：
\[\frac{k_{ox}^2}{v_k^2-v_1^2}+\frac{k_{oy}^2}{v_k^2-v_2^2}+\frac{k_{oz}^2}{v_k^2-v_3^2}=0\\(\overrightarrow{k}_0\sim v_k~~表达式)\]4. 单轴晶体中光的传播
单轴晶体定义：（假设相同的x轴和y轴）
\[\begin{cases} \epsilon_x=\epsilon_y\ne\epsilon_z\\\epsilon_{rx}=\epsilon_{ry}\ne\epsilon_{rz} \end{cases}\\ \begin{cases} n_x=n_y=\sqrt{\epsilon_{rx}}=n_o\\n_z=\sqrt{\epsilon_{rz}}=n_e \end{cases}\]（其中 $n_o$ 和 $n_e$ 为主折射率，两者不相等。）
折射率的两个实根：
\[\begin{cases} n'^2=n_0^2\\n''^2=\frac{n_o^2n_e^2}{n_o^2sin^2\theta+n_e^2cos^2\theta} \end{cases}\]- $n'=n_0$ 与 $\overrightarrow{k_0}$ 方向无关，类似各向同性介质，寻常光（o光）；
- $n''$ 与 波法线 $\overrightarrow{k}_0$ 与 $z$轴夹角 $\theta$ 有关，非常光（e光）。
- o光的光矢量 $\overrightarrow{E}\parallel x$轴，即垂直于 $\overrightarrow{k}_0$与光轴，（z轴）所确定的平面，称次平面为o光主平面。
- $\overrightarrow{D}=\epsilon_x\overrightarrow{E}=\epsilon_0\epsilon_{rx}\overrightarrow{E}=\epsilon_0 n_0^2\overrightarrow{E}$，o光的 $\overrightarrow{D}\parallel\overrightarrow{E},\overrightarrow{D}\perp o$光主平面。
- e光矢量 $\overrightarrow{E}$在y-z平面内，即在 $\overrightarrow{k}_0$与光轴 $z$轴组成的平面内——e光主平面；
- e光的 $\overrightarrow{D}$在y-z平面内，但是 $\overrightarrow{D}\nparallel\overrightarrow{E}$；
- e光的光波传播方向 $\overrightarrow{S}_e$与 $\overrightarrow{k}_0$及光轴（z轴）共面，但 $\overrightarrow{k}_0$不平行于 $\overrightarrow{S}_e$；仅当 $\theta=\frac{\pi}{2}$时，$E_y=0$，即$\overrightarrow{E}$沿光轴时，$\overrightarrow{D}\parallel\overrightarrow{E},\overrightarrow{k}\parallel\overrightarrow{S},n''=n_e$。
【离散角】$\alpha=\theta-\theta'$。e光波法线与光线方向的夹角。（$\theta$为$\overrightarrow{k}$与光轴夹角；$\theta'$为$\overrightarrow{S}$与光轴夹角）。已知 $\alpha$，可由波法线方向求取光线方向。
