《光学工程基础》清华大学（32）- 物理光学（晶体偏振器件）

Published: August 27, 2021 by Authur Lee

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讨论偏转器件及用于产生、改变偏振态的机理。

1. 偏振棱镜

1.1 偏振起偏棱镜

1. 格兰 - 汤姆逊棱镜

方解石 —— 加拿大树脂($n_g$) —— 方解石（负单轴晶体）

$$n_o>n_g>n_e$$

1）光垂直于棱镜端入射

2）当入射光束不是平行光，或平行光非正入射偏振棱镜时

格兰 - 汤姆逊棱镜的缺点：只能用在平行光束入射的条件下。

2. 格兰 - 付科棱镜

方解石 —— 空气 —— 方解石

1）左边的子图跟光轴平行的光，而右边的图透射的也是e光(振动方向跟光轴平行)。2）为什么图b比图a透射比大？虽然它们都是e光，但是它们透射光的强度不一样。菲涅耳公式中s波的反射率永远大于p波的反射率。在b图的界面上，反射的是s波，而在a图的界面上，反射的是p波。所以a图透射的是s波，b图透射的是p波，而s波的反射率永远大于p波的反射率，故而图b比图a透射比大。

1.2 偏振分束棱镜（获得两束分开的线偏光）

1. 渥拉斯顿棱镜

方解石 —— 方解石（$n_o>n_e$）

两块方解石晶体虽然晶体的材料一样，但是它们光轴的取向不一样。

• 第一棱镜中，o光、e光同方向.
• 第二棱镜中，
  • o光变成e光，（$n_o\Rightarrow n_e$），偏离界面法线
  • e光变成o光，（$n_e\Rightarrow n_o$），偏向界面法线

上图所示，左边的方解石晶体的轴平行于图面，而右边的方解石晶体的轴垂直于图面。如此，在第一块棱镜中，当o光、e光垂直正入射的时候，它们在第一块晶体中不发生双折射，传播方向一致；但是在第一块和第二块晶体的界面上，第一块棱镜中的o光就变成了第二块棱镜中的e光，第一块棱镜中的e光变成了第二块棱镜中的o光，它们的折射角不一样。折射角不一样，在出晶体的时候，是 $n_e$ 跟空气的折射率差以及 $n_o$ 跟折射率的空气的差，跟空气折射率的差就导致了它们进一步再折射。它们之间的夹角为 $2\varphi$，可通过折射率 $n_o,n_e$ 和空气的折射率 $1$ 来算出。

2. 洛匈棱镜

石英 —— 石英（$n_o<n_e$）

• 第一棱镜中，均为o光，无双折射
• 第二棱镜中，
  • o光变成e光，偏向界面法线；
  • o光变成o光，传播方向不变，无色散。

和上文的 格兰 - 汤姆逊棱镜 相比，区别是两束光分开了，但是有一束光仍然是垂直于界面的，着束光再光学里头调光路的时候，垂直于界面是比较好用的。而前面的 格兰 - 汤姆逊棱镜，两束光都是斜着出来的，在调光路的时候，会造成一定的困难。

2. 相位延迟器

相位延迟期：改变偏振光偏振态的器件。分为两大类，一类是波片，一类是补偿器。

• 波片
  • 全波片
  • 半波片
  • 1/4波片
• 补偿器
  • 巴比涅补偿器
  • 索里补偿器

2.1 波片

【波片】光轴平行于晶面的透明平行晶片。

首先它是透明的，两个表面平行，且光轴平行于此表面。光正入射在此界面上，所以光轴始终垂直于光线传播方向。虽然方向上不发生双折射，但是两束光的传播速度不一样，就导致出射的时候，经过厚度为 $d$的波片，出射的时候会产生相位差。故而他可以改变入射光波的偏振态。

波片的工作机理：晶体中o、e光的传播速度不同（$n_o,n_e$决定）

• 通过晶片后引入相位差，使偏振态变化。
• 波片产生的光程差与相位延迟：

$$\begin{aligned} \Delta &= (n_o-n_e)d\\ \delta &= \frac{2\pi}{\lambda}(n_o-n_e)d \end{aligned}$$

波片里面有快轴和慢轴。1）快轴：晶体中波速快的光矢量的方向。2）慢轴：与快轴垂直的方向。

2.2 典型波片

1）全波片

$$\begin{aligned} d&=\frac{m}{\vert n_o-n_e\vert}\lambda\\ \Delta&=(n_o-n_e)d=m\lambda\\ \delta&=2m\pi \end{aligned}$$

• 产生 $2\pi$ 整数倍的相位变化；
• 不改变入射光的偏振态。

2）半波片

$$\begin{aligned} d &= \frac{(2m+1)}{\vert n_o-n_e\vert}\frac{\lambda}{2}\\ \Delta &= (n_o-n_e)d=(2m+1)\frac{\lambda}{2}\\ \delta &= (2m+1)\pi \end{aligned}$$

• 入射线偏光经 $\lambda/2$片后仍为线偏光，其出射线偏光的振动方向将发生偏转。
• 入射圆（椭圆）偏振片经 $\lambda/2$ 片后，其出射旋向相反。

3）1/4波片（用的最多的一种波片）

$$d=\frac{(2m+1)}{\vert n_o-n_e}\frac{\lambda}{4}\\ \Delta=(n_o-n_e)d=(2m+1)\frac{\lambda}{4}\\ \delta=(2m+1)\frac{\pi}{2}$$

• 1/4波片的最小厚度：$d_{min}=\frac{\lambda}{4(n_o-n_e)}$
• 使入射线偏光变为椭圆偏振片，当入射光矢量相对于快轴方位 $\alpha=\pm 45^\circ$时，出射光为圆偏振光。$n_o>n_e$时，e光超前。

波片使用要求：

• 波片只对某一波长 $\lambda$产生某一确定的 $\delta$;
• 波片上的入射光应是偏振光，自然光经拨片后依然为自然光；
• 入射光矢量相对于快（慢）轴 方位角 $\alpha\ne 0$ 或 $\pm\pi/2$时，$\delta\ne0$，起改变偏振态作用。

2.3 补偿器

补偿器：能任意、连续改变相位差位置。

1）巴卑涅补偿器

• 经补偿器后产生的光程差为：

$$\begin{aligned} \Delta&=(n_od_1+n_ed_2)-(n_ed_1+ n_od_2)\\ &=\vert n_o-n_e\vert (d_1-d_2 ) \end{aligned}$$

• 不同厚度差产生不同光程差，获得不同的偏振态，可对不同波长补偿。
• 只适用于窄光束。

2）索里补偿器

• 移动两光楔，厚度发生变化，可获得任意相位差；
• 两光楔相接触的全部区域内相位差稳定不变；
• 可用于宽光束。

3. 偏振光和偏振态的琼斯矩阵表示

3.1 偏振光的琼斯矢量表示

$$\overrightarrow{E}=E_x\overrightarrow{x}_0+E_y\overrightarrow{y}_0\\ \begin{cases} E_x=a_1\exp[-i(\omega t-kz+\delta_x)]\\ E_y=a_2\exp[-i(\omega t-kz+\delta_y)] \end{cases}\\ \begin{cases} \overrightarrow{E}_x=a_1\exp[i(kz-\delta_x)]\\ \overrightarrow{E}_y=a_2\exp[i(kz-\delta_y)] \end{cases}\\~\\ \overrightarrow{E}=\begin{bmatrix} \overrightarrow{E}_x\\\overrightarrow{E}_y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_1e^{-i\delta_x}\\a_2e^{-i\delta_y} \end{bmatrix}=a_1e^{-i\delta_x}\begin{bmatrix} 1\\ae^{-i\delta} \end{bmatrix}\\(\delta=\delta_y-\delta_x,a=\frac{a_2}{a_1})$$

琼斯矩阵两元素表示相互垂直的光矢量。

琼斯是两种含有电场强度 $E$ 的直角坐标分量的振幅和相位的全部信息，可以唯一的确定平面波的状态。

归一化琼斯矢量得到：

$$\begin{aligned} \overrightarrow{E}&=\frac{a_1e^{-i\delta_x}}{(\vert\tilde{E}_x\vert^2+\vert\tilde{E}_y\vert^2)^{1/2}}\begin{bmatrix} 1\\ae^{-i\delta} \end{bmatrix}\\&=\frac{a_1e^{-i\delta_x}}{\sqrt{(a_1)^2+(a_2)^2}}\begin{bmatrix} 1\\ae^{-i\delta} \end{bmatrix} \end{aligned}$$

线偏振光的一般形式：

$$\overrightarrow{E}=\begin{bmatrix} cos\theta\\sin\theta \end{bmatrix}$$

使用上式，我们可以把相应的 $\theta$代入得到琼斯矢量。沿x轴时，$\theta=0$；沿y轴时，$\theta=90^\circ$；$\theta=45^\circ$为45°向线偏光。

3.2 正交偏振

【正交偏振态定义】任意两偏振态

$$\overrightarrow{E}_1=\begin{bmatrix} \overrightarrow{E}_{1x}\\\overrightarrow{E}_{1y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_1\\B_1 \end{bmatrix},~~\overrightarrow{E}_2=\begin{bmatrix} \overrightarrow{E}_{2x}\\\overrightarrow{E}_{2y} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A_2\\B_2 \end{bmatrix}$$

当满足 $\overrightarrow{E}_1\cdot\overrightarrow{E}_2^=0$（即$A_1A_2^+B_1B_2^*=0$）时，偏振态$\overrightarrow{E}_1,\overrightarrow{E}_2$ 为一对正交偏振态。下面是几种正交偏振态举例：

任何一种偏振态都可以用一组特定正交态的两个琼斯适量的线性组合来表示。如下面两种方式：

$$\begin{bmatrix} A\\B \end{bmatrix}=A\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}+B\begin{bmatrix} 0\\1 \end{bmatrix}\\(一对正交线偏振光)\\ \begin{bmatrix} A\\B \end{bmatrix}=\frac{1}{2}(A+iB)\begin{bmatrix} 1\\-i \end{bmatrix}+\frac{1}{2}(A-iB)\begin{bmatrix} 1\\i \end{bmatrix}\\(一对正交圆偏振光)$$

3.3 偏振器件的琼斯矩阵表示

设入射光 $\tilde{E}_1$ 和出射光 $\tilde{E}_2$ 分别为：

$$\tilde{E}_1=\begin{bmatrix} A_1\\B_1 \end{bmatrix},~~\tilde{E}_2=\begin{bmatrix} A_1\\B_2 \end{bmatrix}$$

1. 偏振器件在偏振态转换中起着线性变换的作用；
2. 新偏振态的两分量是原偏振态两分量的线性组合。

求琼斯矩阵的步骤：1）作图示意；2）将入射偏振光表示成 $\overrightarrow{E}_1=[A_1~B_1]^T$；3）写出出射光在 $x,y$轴上分量，将 $A_1,B_1$在透光轴上投影，再分别投在 $x,y$轴上；4）写出出射光在 $x,y$轴上分量。

在考虑类似快轴与x轴成 $\theta$角、产生的相位差为 $\delta$的波片的琼斯矩阵时，我们需要注意以下几点：1）定好快慢轴；2）波片的相位延迟作用。

3.4 琼斯矩阵的应用

1. 易得到新的偏振态（矩阵运算）
2. 计算偏振态变化（$E_出=G_N\cdot\cdot\cdot G_2G_1E_入$）
3. 利用转换矩阵我们可以计算求其中的任意一项

$$\begin{bmatrix} A_2\\B_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} A_1\\B_1 \end{bmatrix}$$