《光学工程基础》清华大学（2）- 应用光学（光波、光线和成像）
基本概念和光线传播基本定律
光是电磁波的一种，覆盖特定的波长范围。
光波指的是波长在0.1微米到30微米左右的这个波段，包括紫外、可见、近红外、中红外、远红外等波段。可见光波主要包括400纳米~760纳米的波段。
真空中光的传播速度是一个恒定值：c = 299792458 m/s。
国际单位中米的定义就是根据光的传播速度而来的。
光波的速度$v$、波长$\lambda$和频率$\nu$:
\[v = \lambda \nu\]注意区别$v$和$\nu$。
折射率：
\[n=c/v=n*(\lambda)\]折射率是一个比值，与波长相关，体现出色散行为。
【光源】从物理学的观点看，任何发光的物体都可以叫作光源。在应用光学中，把凡是发出光线的物体，不论它本身发出光线或是因为被照明而发出光线，都称为光源。
【发光点】如果某光源可看成几何学上的点，它只占用空间位置而无体积和线度，则称之为发光点或点光源。
【光线】光线是表示光能传播方向的几何线。
【光束】有一定关系的一些光线的集合。
【光波波面】光是一种电磁波。某一时刻其振动相位相同的点所构成的面称光波波面。在各向同性介质中，光沿光波波面法线方向传播，可以认为光波波面的发现就是应用光学中的光线，与波面对应的法线束就是光束。
【光线模型】如果光波波长与光学系统口径相比小到可以忽略，则可以抽象出应用光学中广泛使用的光线模型。
应用光学近似：${\lambda=0}$ 衍射方程：$dsin\theta=m\lambda$
\[\lambda=0 \rightarrow\theta=0\rightarrow{光沿原方向传播}\]【光线传播基本定律】
- 直线传播：光在均匀介质中沿直线传播。
- 独立传播：光线以不同方向通过某点时，彼此互不影响，各光线独立传播。
- 反射定律：1）入射光线、法线和反射光线在同一平面内；2）入射光线和反射光线在法线的两侧；3）反射角等于入射角 $I'=-I$。
- 折射定律：1）入射光线、法线和折射光线在同一平面内；2）入射光线和折射光线在法线的两侧；3）入射角与折射角的正弦之比与入射角无关，是一个与介值与光的波长有关的常数：$n'sinI'=nsinI$
- 全反射：1）当光从光密介质（$n$大）入射向光疏介质（$n'$小）且入射角$I$增大到某一程度时，折射角$I'$达到90°，折射光线沿界面掠射出去，此时的入射角度称为临界角，记为$I_c$。2）若入射角继续增大，入射角$I$大于临界角$I_c$的光线不能折射进入第二种介质，而全部反射回第一种介质，即发生了全反射。
- 光路可逆：光线传播方向可逆。
反射定律和折射定律统称为：斯涅尔（Snell）定律。在$n'=-n$时，折射定律可推导出反射定律。
成像基本概念
【像】：从物体发出的光线经平面镜、球面镜、透镜、棱镜等反射或折射后所形成的与原物相似的图景。分为实像和虚像。
成像三种说法：波面、光线、等光程。
【波面】以及【光线】定义见上文
【光程】路程与相应折射率乘积之和称为光从$P$到$P'$的光程：
\[\begin{aligned} [PP']&=\sum_{i=1}^mn_il_i\\ &or\\ [PP']&=\int_P^{P'}ndl\ (若折射率连续变化) \end{aligned}\]光程就是光在介质中走过一段几何路程所需的时间内光在真空中所走的路程，简言之，光程是等效真空程。
点物成点像就是物点与像点之间的光程无论沿哪条实际路径都相等。（由费马原理导出）
物点和像点之间连续分布着无穷多条实际的路径。根据费马原理，它们的光程都应该取极值，这些连续分布的实际路径的光程都取极大值或极小值是不可能的，唯一的可能是取恒定值，即它们的光程相等。
（费马原理见下面章节）
费马原理
费马原理在应用光学是非常重要的一个原理，特别是在求解复杂光学系统的时候，我们可以通过费马原理，来得到解或者初始解。
【费马(Fermat)原理】光从空间一点传播到另一点是沿着光程为极值的路径传播的。
\[[PP']=\int_P^{P'}ndl\ 的一阶变分等于0，即\\ \delta\int_P^{P'}ndl=0\]具体地说，把光传播的实际路径与其邻近的其他路径相比较，光的实际路径的光程为极小、极大或稳定值。
特殊情况；鞍点等
光路可逆：若光线在空间中沿某一路径传播，当光线反向时，必沿同一路径逆向传播。
【使用费马定理导出折射定律】
\[\begin{aligned} PE&=\sqrt{(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+(z_0-z)^2}=d\\ P'E&=\sqrt{(x_0-x')^2+(y_0-y')^2+(z_0-z')^2}=d' \end{aligned}\] \[\underset{P-E-P'}{[PP']}=nd+n'd',\ (P-E-P')\]下面研究$PGP'$（用矢量以及矢量的点积来表示）
\[\underset{P-G-P'}{[PP']}=n\sqrt{(d\mathbf{a}+\mathbf{\delta})\cdot(d\mathbf{a}+\mathbf{\delta})}+n'\sqrt{(d'\mathbf{a'}-\mathbf{\delta})\cdot(d'\mathbf{a'}-\mathbf{\delta})}\]求解两个光程的光程差：
\[\begin{aligned} \Delta[PP']=&\underset{P-G-P'}{[PP']}-\underset{P-E-P'}{[PP']}\\ =&n\sqrt{d^2\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}+2d\mathbf{a}\cdot\mathbf{\delta}+\mathbf{\delta}\cdot\mathbf{\delta}}-nd\\ &+n'\sqrt{d'^2\mathbf{a'}\cdot\mathbf{a'}+2d'\mathbf{a'}\cdot\mathbf{\delta}+\mathbf{\delta}\cdot\mathbf{\delta}}-n'd' \end{aligned}\]使用Taylor级数展开：$when\ x«1,\ \sqrt{1+x}\approx 1+\frac{1}{2}x$，带入，得
\[\begin{aligned} \Delta[PP']=&\underset{P-G-P'}{[PP']}-\underset{P-E-P'}{[PP']}\\ =&nd(1+\frac{\mathbf{a\cdot\delta}}{d})-nd+n'd'(1-\frac{\mathbf{a'\cdot\delta}}{d})-n'd'\\ =&(n\mathbf{a}-n'\mathbf{a'})\cdot\delta \end{aligned}\]根据费马原理，对任意$\delta$，$\Delta[PP']$具有相同的正负号，而根据$\delta$方向的任意性，可知：
\[(n\mathbf{a}-n'\mathbf{a'})\cdot\delta=0\]在$\delta$很小的时候，$\delta$的方向近似于切线方向，故而$(n\mathbf{a}-n'\mathbf{a'})$的分量只在法向上有分量。
\[\begin{aligned} (n\mathbf{a}-n'\mathbf{a'})\cdot\delta&=0\\ n'\mathbf{a'}-n\mathbf{a}&=\Gamma N\\ n\mathbf{a}\times N&=n'\mathbf{a'}\times N \end{aligned}\]化简得
\[n'sinI'=nsinI\ \ \ (折射定律)\]等光程成像
物点和像点之间连续分布着无穷多条实际的光线路径。根据费马原理，它们的光程都应取极值，这些连续分布的时间光线的光程都去极大值或极小值是不可能的，唯一的可能是取极值，即它们的光程相等。
【马吕斯定律】垂直于波面的光线束（法线集合）经过任意多次反射和折射后，无论折射面和反射面形状如何，出射光束仍为法线集合的性质。并且入射波面与出射波面对应点之间的光程均为定值。
光线束在各向同性介质的传播过程中，始终保持着与波面的正交性。
\[\left.\begin{matrix} 费马原理\\ 折反射定律\\ 马吕斯定律 \end{matrix}\right\}等价\]在实际问题中，通过使用两条路径光程相等解题。
常用曲面形状
广义地说，光学系统是由若干几何曲面串连在一起构成的，这些曲面就是两种介质的分界面。
常用的曲面形状：
- 球面
- 二次回转抛物面
- 二次回转椭球面
- 二次回转双曲面
【共轴光学系统】通常在串连这些曲面时，将各个球面的球心，以及二次回转曲面的回转轴都放在光学系统的集合对称轴上，该对称轴为光学系统的光轴，这一类光学系统称为共轴光学系统。
【球面】
\[r^2=x^2+y^2+(z-r)^2\\ 令h^2=x^2+y^2,\\ 则z^2=2zr+h^2=0\\ 解得：z=r\pm\sqrt{r^2-h^2}\\ \textcolor{red}{通常情况下只关注第一个交点}，即z=r-\sqrt{r^2-h^2}\]此外，在应用光学中，我们通常把半径提出来，将其倒数记为球面曲率
\[c=\frac{1}{r}\\\]使用泰勒展式对$z$进行化简：
\[\begin{aligned} z&=r[1-\sqrt{1-(\frac{h}{r})^2}]\\ &=\frac{1-\sqrt{1-(ch)^2}}{c}\\ &=\frac{ch^2}{1+\sqrt{1-(ch)^2}}\\ &=\frac{1}{2}ch^2+\frac{1}{8}c^3h^4+\frac{1}{16}c^5h^6+... \end{aligned}\]【二次回转曲面】（以椭球面为例）
\[\frac{(z-a)^2}{a^2}+\frac{h^2}{b^2}=1\]同样将顶点的曲率用c来表示（$a$为椭球的长轴，$b$为椭球的短轴）：
\[c=\frac{a}{b^2}\] \[\epsilon = \frac{b^2}{a^2}\]则$z$可以表示为
\[z=\frac{ch^2}{1+\sqrt{1-\epsilon(ch)^2}}\]在许多商用光学设计程序中，常使用下式表示二次回转曲面（其中$k$为圆锥常数）
\[\begin{aligned} z&=\frac{ch^2}{1+\sqrt{1-(1+k)c^2h^2}}\\ &\overset{Taylor}{=}\frac{1}{2}ch^2+\frac{1}{8}(1+k)c^3h^4+\frac{1}{16}(1+k)^2c^5h^6 \end{aligned}\] \[k=\epsilon-1=\frac{b^2}{a^2}-1=-e^2\]$e$ 为椭球偏心率，有的时候也叫做离心率
| k>0 | $\epsilon >1$ | 扁椭球 | |
|---|---|---|---|
| e=0 | k=0 | $\epsilon$=1 | 球 |
| 0<e<1 | -1<k<0 | 0<$\epsilon$<1 | 长椭球 |
| e=1 | k=-1 | $\epsilon$=0 | 抛物面 |
| e>1 | k<-1 | $\epsilon$<0 | 双曲面 |
【轴对称高次非球面】(在二次回转曲面的基础中加上一些项)
\[z=\frac{ch^2}{1+\sqrt{1-\epsilon(ch)^2}}+a_4h^4+a_6h^6+a_8h^8+...\]【自由曲面】
- 非对称
- 不规则
- 不适合用同一的数学方程式描述
- 微米级或亚微米级面形精度和纳米量级粗糙度
自由曲面在实际生活中的应用越来越多。