《光学工程基础》清华大学（5）- 应用光学（平面反射镜与棱镜）
1. 平面反射镜及双平面反射镜
【平面反射镜】是唯一能完善成像的光学元件。同时，$\beta=1$，说明实物成虚像，虚物成实像。
一个平面反射镜，物体是右手坐标系，那么它所成的像为左手坐标系。
如何判断$x$和$y$轴的方向？我们一般把$z$的方向当作光线前进的方向，在$x$轴或者$y$轴上找一点，做一条平行于$O$z的线，来判断它在$Oz$的哪一边，就可以知道$x'$和$y'$的方向。
- 右手直角坐标系经奇数次平面反射镜成像，则像是左手系——【镜像】。
- 右手直角坐标系经偶数次平面反射镜成像，则像是右手系——【相似像】。
【透镜的成像方向】垂轴放大率$\beta>0$或者$\beta<0$时，右手坐标系所成的像也是右手坐标系。只有平面反射镜经过偶数次发射所成的像是相似像，经过奇数次反射成的像是镜像，透镜是没有这种功能的。
【平面反射镜的两个放大作用】
- 平面反射镜的旋转对光线的角度放大作用。$\theta\rightarrow 2\theta$
- 平面发射镜的移动对像有位移放大作用。$h\rightarrow 2h$
这两个放大作用在我们的测量仪器里面经常用到。例子：卡文迪许测量万有引力常数、AFM探针。角度变成原来两倍，再加上很长的距离，可以测量出微小的变形量。
【双平面反射镜】由两个反射镜所构成。
根据上述两个等式，可知
\[\psi=2\theta\]- 位于与俩平面反射镜交棱相垂直平面内的光线，不论它的入射光线方向如何，经两个平面反射镜各反射一次后的出射光线相对于入射光线的偏转角总是等于两平面反射镜夹角的2倍；
- 它的偏转方向，与反射面按反射次序由$M_1$偏转到$M_2$的方向相同；
- 入射光线的的方向不变时，若两块平面反射镜作为一个刚体一起转动时，则出射光线的方向不会改变，但出射光线的位置可能平移。
2. 反射棱镜及其展开和平行平板呈像
【反射棱镜】在双平面反射镜中，为了使两反射面之间的夹角不变，可将两个反射面做在同一块玻璃上，以代替一般的双平面反射镜组，这就构成了另一类常用的光学元件——反射棱镜。
反射棱镜有入射面、反射面和出射面，这些面都称为工作面。
入射面、反射面、出射面之间，都有一条交棱，这种棱称之为【工作棱】，垂直于工作棱的面我们称之为反射棱镜的【主截面】。一般情况下，光线在主截面传播。
反射棱镜的展开：绕着发生反射的棱，将棱镜反转180°。如此一来，入射光线、反射光线和出射光线就在一条直线上。
反射棱镜展开后是一块平行平板。
- 在共轴光路中应用反射棱镜就相当于在光路中加入了一块平行平板玻璃；
- 若它被用在会聚光路中，光路的光轴垂直于反射棱镜的入射面，反射棱镜的加入仍然保持了光路系统的共轴性；
- 棱镜展开成平行平板后，其平行平板的厚度$L$也称为棱镜的展开长度。展开长度不仅与棱镜的结构有关，还与棱镜入射面的口径大小$D$有关。
【平行平板成像】因为是一块平行平板，入射面和出射面相互平行，根据折射定律，入射角和第二个面的折射角是相等的，因此可知角放大率$\gamma=1$，故而可得
\[\alpha=\beta=\gamma=1\]【平行平板的成像特性】
- 光线经过平行平板折射后，出射光线的方向与入射光线平行，同时出射光线在入射光线的右侧。
- 近轴光线经过平行平板，当平板的厚度确定后，折射光线与光轴交点的位移量为一常数，它不随入射光线的入射角而变化。
- 对任意光线来讲，经平行平板折射后，折射光线与光轴交点的位移量随入射光线的入射角的变化而变化。
3. 反射棱镜成像方向
【反射棱镜系统的三种类型】
- 具有单一主截面的棱镜或棱镜系统；
- 屋脊棱镜；
- 具有两个相互垂直的主截面的棱镜或棱镜系统。
一般来说，x轴垂直于主截面。
【屋脊棱镜】奇数次反射使得物体成镜像。如果需要得到物体的相似像，而不增加反射棱镜时，可用交线位于棱镜光轴面内的两个相互垂直的反射面取代其中一个反射面，是垂直于主截面的坐标轴被这两个相互垂直的反射面依次反射而改变方向，从而得到物体的相似像。
【确定屋脊棱镜成像方向的一般方法和步骤】
- 按光轴是在屋脊棱镜上被反射的情况确定出射光轴$z'$的方向；
- 根据一对屋脊面颠倒了垂直于主截面的物象方向的结论确定$x'$轴的方向；
- 按棱镜总放射次数的奇偶性（一对屋脊面算两个反射面）确定像方坐标系是左手系还是右手系，从而定出位于主截面内$y'$轴的方向。
【普罗棱镜】具有两个相互垂直的主截面的棱镜或棱镜系统。
4. 棱镜转动定理
在光学仪器的装校过程中，往往利用反射棱镜的微量转动调整光学系统的光轴方向和成像方向的倾斜。
顺时针、逆时针都是按照光线的前进方向来看的。
物绕$P$轴转$-\theta$角，棱镜不动，像绕$P'$轴转$(-1)^{N-1}\theta$角。（其中$N$为反射次数）
【反射棱镜转动定理】
- Step1：物绕$P$轴转$-\theta$角，棱镜不动，像绕$P'$轴转$(-1)^{N-1}\theta$角；
- Step2：物绕$P$轴转$\theta$角，棱镜绕$P$轴转$\theta$角，像绕$P$轴转$\theta$角；
- 总结果：物不动，棱镜绕$P$轴转$\theta$角，像绕$P'$轴转$(-1)^{N-1}\theta$角，再绕$P$轴转$\theta$角。
5. 角锥棱镜和折射棱镜
双平面反射镜有性质：位于与俩平面反射镜交棱相垂直平面内的光线，不论它的入射光线方向如何，经两个平面反射镜各反射一次后的出射光线相对于入射光线的偏转角总是等于两平面反射镜夹角的2倍。
但是如果说光线是一条任意的空间光线入射的时候，上述性质是难以保持住的，因此我们需要一个新的元件——角锥棱镜。
【角锥棱镜（角隅棱镜）】由立方体切下一个角而形成。
- 三个反射工作面相互垂直，底面是一个等边三角形，为棱镜的入射面和出射面。
- 当光线以任意方向从底面入射，经过三个直角面依次反射后，出射光线始终平行于入射光线。
- 当角锥棱镜绕其顶点旋转时，出射方向不变，仅产生一个平移。
【折射棱镜】如果棱镜工作面对光线的主要作用为折射，则此类棱镜称作折射棱镜。折射棱镜是将两个成一定夹角的平面折射面做在同一块玻璃上的器件，它们之间的夹角$\alpha$称作棱镜顶点。出射光线相当于原入射光线的方向将发生改变，它们之间的夹角称作棱镜的偏向角，用$\delta$表示。
最小偏向角法测折射率(当棱镜为一个顶角为$\alpha$的等腰三角形时，棱镜里面的折射光线平行于底边时，偏向角最小)：
\[sin(\frac{\alpha+\delta_{min}}{2})=nsin\frac{\alpha}{2}\]$\alpha$很小时，折射棱镜近似于一个光楔，此时：
\[\delta=(n-1)\alpha\]光楔用途：角度测微、移动测微。
6. 光学材料简介
色散的表示：
- 用两个不同波长的折射率的差来描述。
- 阿贝（Abbe）数$V=\frac{n_d-1}{n_F-c_C}$
可见光波段：$\delta n=n_F-n_C$
- C线，红色氢光，波长656.2725nm；
- F线，蓝色氢光，波长486.1327nm；
- D线，黄色氦光，波长587.5618nm，非常接近人眼最敏感波长；
这里的F光、C光、D光（或者F线、C线、D线），是夫琅和费谱线。不同物质对不同波长的光进行选择吸收，将形成【吸收光谱】。当物质对某一波长的光强烈吸收，吸收光谱会出现【暗线】，通过暗线可以推断出物质成分。
对于光谱，我们只有离散的光谱；对于激光器，我们也只有离散的波长。而折射率是连续的，所以有很多的色散公式来逼近折射率。
【柯西色散公式】
\[n(\lambda)=A+\frac{B}{\lambda^2}+\frac{C}{\lambda^4}\]（在可见光波段，系数$C$非常小，可以忽略。）
\[n(\lambda)=A+\frac{B}{\lambda^2} \Rightarrow V=\frac{n_d-1}{n_F-c_C}\] \[n(\lambda)=A+\frac{B}{\lambda^2} \Rightarrow \begin{cases} B=\frac{(n_d-1)\lambda_C^2\lambda_F^2}{V(\lambda_C^2-\lambda_F^2)}\\\ \\ A=n_d-\frac{B}{\lambda_D^2} \end{cases}\]| 我们可以只用d线折射率n_d和阿贝数V表征玻璃色散性质 |
【光学材料简介】光学材料包括光学玻璃（无色、有色和变色）、光学晶体和光学塑料等。
对光学材料的基本要求：
- 透射材料对工作波段有良好的透过率；
- 反射材料对工作波段有很高的反射率。
【透射材料】
- 光学玻璃：一般光学无色玻璃只能透过波段为0.35~2.5μm的光，超出此范围的光将被材料强烈吸收。
- 无色玻璃可分为两大类：冕牌玻璃（K，折射率低、色散低），火石玻璃（F，折射率高、色散高）。
- 光学晶体：主要应用在紫外和红外波段（紫外波段：熔融石英、氟化钙和氟化锂等少数几种晶体；红外波段：锗、硅、氟化钙等）。
- 光学塑料：用于制作要求不高的原件，如放大镜、菲涅尔透镜等；
- 反射材料：一般是在抛光玻璃表面镀金属反射膜，主要特性是反射率。最常用的高反射材料是银和铝。在可见光波段，金属铝的反射率为88~92%，金属银的反射率更佳。