《光学工程基础》清华大学（9）- 应用光学（光学系统的分辨率）
1. 光学系统的分辨率
【相对孔径】入瞳直径与光学系统焦距$f'$之比，即$\frac{D}{f'}$，其中$D$属于物空间，$f'$属于像空间。
【光瞳数（焦距数、F数）】相对孔径的倒数，用$K$表示：
\[\frac{D}{f'}=\frac{1}{K}~~\rightarrow~~K=\frac{f'}{D}\]F数其实就是照相机中的光圈数。 相对孔径与像方孔径角的大小相关。
【数值孔径】物方孔径角的正弦与物方折射率之积，常以$NA$表示：
\[NA=n_1sin~U_1\]- 相对孔径和数值孔径都表示了光学系统的光学特性；
- 焦距相同情况下，相对孔径越大，光学系统的能量就越多；
- 物距相同情况下，数值孔径越大，光学系统的能量就越多。
【瑞利（Rayleigh）判据】两个相邻“点”光源所形成的像是两个艾里斑，如果两个光强相等的非相干像点间的间隔等于艾里斑的半径，则这两个点可以分辨。
两个弥散斑的叠加光强分布曲线的极大与中间极小之间的光强比为 $1:0.736$。
在像面上可分辨两点间的距离$\sigma$就是艾里斑半径：
\[\sigma=1.22\cdot\frac{f'\lambda}{D}\]$f'$为光学系统焦距，$\lambda$为工作波长，$D$为光学系统的入瞳直径。
【可分辨角间距（角分辨率）】光学系统像面上最小可分辨的间距对光学系统节点的张角称为光学系统的可分辨角间距，又称为光学系统的角分辨率$\varphi$：
\[\varphi=\frac{\sigma}{f'}=\frac{1.22\lambda}{D}\]若$\lambda$用可见光波长代入，可得$\varphi=\frac{1.22\times0.000556}{D}\times206265=\frac{140''}{D}$($D$的单位为$mm$)，另外206265等同于一个弧度值等于多少角秒的一个转换关系，就是转换数。$\varphi$的单位为秒。
如果远处有个物体，它对光学系统的张角如果是小于光学系统的角分辨率，那我们认为这个物体是不能分辨出大小，我们只认为它是一个点。
- 角分辨率这是由光学系统的衍射造成的，所以又叫衍射极限分辨角；
- 口径越大光学系统的角分辨率越高。
2. 人眼的分辨率
眼睛能够分辨最靠近两相邻点的能力称为眼睛的分辨能力。
人眼的分辨率由三个因素决定：视网膜上视神经细胞的尺寸、人眼瞳孔光瞳直径决定的衍射极限、人眼的光学像差决定的。
【视神经细胞的尺寸】视网膜上最灵敏的区域黄斑，视锥细胞尺寸约$3\mu m$；视神经能分辨的两个像点之间的距离至少应该等于两个视锥细胞的尺寸，即$6\mu m$。
如果远处有两个物体对人眼的张角是$\omega$，它们在视网膜上成了两个像点，这两个像点之间的距离为$y'$，眼睛的焦距是$f'$，故而可知：
\[tan\omega=\frac{y'}{f'}\]物体对人眼的张角称为视角，人眼能分辨的两物点对人眼的张角称为视角分辨率。
如果，两个物体在人眼上成的像高$y'$正好等于视神经细胞两个像元的间距，那么我们可以说人眼刚刚能分辨这两个物体。
带入前面得到的数据：
\[\left.\begin{matrix} {tan}\omega=\frac{y'}{f'}\\ 人眼焦距~f'=23mm\\ y'=0.006mm \end{matrix}\right\}~\rightarrow~\omega=60''\]【光瞳衍射极限决定的分辨率】
当中心波长550$nm$时，有
\[\omega=\frac{140''}{D}\]- $D=2mm$时，$\omega=70''$低于视锥细胞分辨率，衍射极限决定眼睛的分辨率；
- $D=4mm$时，$\omega=.5''$高于视锥细胞分辨率，视神经细胞的尺寸决定分辨率。
根据试验统计，$\omega=50''\sim20''$，照明较好时$\omega=60''$，是目视系统设计时必须保证的角分辨率。
【相对孔径的意义】
- 能量。焦距相同情况下，相对孔径越大能量越多；
- 景深。焦距相同情况下，相对孔径越大景深越小；
- 分辨率。相对孔径越大，空间分辨率越高；
- 焦深。相对孔径越大，焦深越小。