《光学工程基础》清华大学（13）- 物理光学（光的电磁性质）

Published: July 21, 2021 by Authur Lee

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几何光学不涉及光的物理本性，将光看做传播能量的几何线。光线在各向同性均匀介质中沿直线传播。而物理光学主要研究中光在传播过程中的物理性质。

1. 电磁场的波动性

【光的电磁性质】麦克斯韦从理论上语言电磁波速度与光速相等，并推测光的传播是一种电磁现象，是电磁振动在空间的传播；二十年后，赫兹第一次在实验上测得电磁波速度与光速接近，并观测到电磁波的反射、折射、相干、衍射及偏振等现象。光所具有的一切物理性质，电磁波几乎都有。从而证实了光波与电磁波的同一性。光就是一种电磁波。由此产生了光的电磁理论，即从电磁理论出发，研究光在传播时的现象、规律及应用。

可见光的波长范围：$380-760nm$。

【麦克斯韦方程组】

$$\begin{cases} \triangledown\cdot\overrightarrow{D}=\rho_f~(高斯定律)\\ \triangledown\cdot\overrightarrow{B}=0~(磁通连续定律)\\ \triangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}~(法拉第电磁感应定律)\\ \triangledown\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{J_f}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}~(安培全电流定律) \end{cases}$$ $$空间位置的变化微分（哈密顿）算符：\triangledown=\overrightarrow{x_0}\frac{\partial}{\partial x}+\overrightarrow{y_0}\frac{\partial}{\partial y}+\overrightarrow{z_0}\frac{\partial}{\partial z}$$ $$\begin{matrix} \overrightarrow{D}：电位移矢量&\overrightarrow{E}：电场强度&\overrightarrow{B}：磁感应强度\\\overrightarrow{H}：磁场强度&{\rho_t}：自由电荷体电荷密度&\overrightarrow{J_f}：传导电流密度 \end{matrix}$$

【物质方程】

物质方程是在电磁场作用下物质特性的关系式。电磁场在媒质中传播，媒质的性质对电磁场的传播有影响。

静止的、各向同性媒质中的物质方程：

$$\begin{cases} \overrightarrow{D}=\epsilon\overrightarrow{E}\\ \overrightarrow{B}=\mu\overrightarrow{H}\\ \overrightarrow{j}=\sigma\overrightarrow{E}\\ \end{cases}$$

介电常数 $\epsilon$、磁导率 $\mu$、电导率 $\sigma$ 为媒质的固有属性。

在真空中，

$$\begin{cases} \sigma=0\\ \epsilon_0=8.8542\times10^{-12}~C^2/N\cdot m^2\\ \mu_0=4\pi\times10^{-7}~N\cdot S^2/C^2 \end{cases}$$

在均匀各项介质中：

$$\begin{cases} \sigma不可为0\\ \epsilon=\epsilon_0\epsilon_r\\ \mu=\mu_0\mu_r \end{cases}~~~~ \begin{cases} \epsilon_r:相对介电常数\\ \mu_r:相对磁导率\\ 非铁磁介质~\mu_r\approx \end{cases}$$

$\epsilon_r$、$\mu_r$ 及 $\sigma$均与入射电磁场角频率 $\omega$ 有关。

物质方程给出了媒质的电学和磁学性，反映了光与物质相互作用时，媒质中大量分子平均作用的结果。

麦克斯韦方程组的四个式子，和物质方程的三个式子，一起组成了一组完备的方程组，用于描述时变场下，电磁场的普遍规律。

【小结】

由麦克斯韦方程组得到的结论：

• 任何随时间变化的磁场周围空间，都会产生变化的电场，具有涡旋场的性质。
• 任何随时间变化的电场（位移电流）都会在周围空间产生变化的磁场，是涡旋场。
• 变化的电场与变化的磁场紧密相连，互相激发，交替产生，在空间形成统一的场，即电磁场。

变化的电磁场在空间以一定的速度向周围空间传播出去，电磁场由近及远地传播，形成电磁波（高频变化的电磁场）。

• $E$和$B$相互耦合，知道其中一个矢量就可以求出另一个。

对光检测仪器起作用的是电矢量而不是磁矢量，只需考虑电场的作用，用电矢量代表光矢量。接下来的学习主要关注电场$E$。

【电磁场的波动方程】

• 无线大各向同性均匀介质中，$\epsilon$、$\mu$ 为常数，$\sigma=0$；
• 不存在自由电荷和传导电流，$\rho_f=0,~\overrightarrow{J_f}=0$（远离辐射源的区域，或变化的电磁场脱离产生它的源的区域）。此时麦克斯韦方程组退化为：

$$\begin{cases} \begin{matrix} \triangledown\cdot\overrightarrow{E}=0&\triangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \triangledown\cdot\overrightarrow{B}=0& \triangledown\times\overrightarrow{B}=\epsilon\mu\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t} \end{matrix} \end{cases}$$

电磁场的波动方程：

$$\begin{cases} \triangledown^2\overrightarrow{E}-\epsilon\mu\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\\ \triangledown^2\overrightarrow{B}-\epsilon\mu\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0 \end{cases}$$

当沿$z$方向传播时，退化为：

$$\begin{cases} \frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial z^2}-\epsilon\mu\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\\ \frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial z^2}-\epsilon\mu\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0 \end{cases}$$

简谐机械波 $\overrightarrow{S}=\overrightarrow{A}cos[\omega(\frac{z}{v}-t)$ 的波动方程 $\frac{\partial^2\overrightarrow{S}}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{S}}{\partial t^2}=0$

由此，可得结论1：

1. $\overrightarrow{E}$、$\overrightarrow{B}$ 随时间和空间的变化遵循波动的形式；
2. 交变的电场和磁场产生电磁波，电磁波以波动的形式在空间传播；
3. 电磁波速度 $v=\frac{1}{\sqrt{\epsilon\mu}}$ 与介质的电学和磁学性质有关。（真空中传播速度 $c=\frac{1}{\sqrt{\epsilon_0\mu_0}}$）

静电场和静磁场的规律：

• 电场不可能脱离自由电荷而存在；
• 磁场也不可能脱离自由电流而存在。
• 而变化的电磁场一旦产生便可以脱离产生它的源而传播出去，形成电磁波。

结论2

：

• 真空光速与介质光速之比称为介质折射率$n$，$n$与介质的相对介电常数 $\epsilon_r$ 和相对磁导率 $\mu_r$密切相关。
• 媒质的折射率：$n=\frac{c}{v}=\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{\epsilon_0\mu_0}}=\sqrt{\epsilon_r\mu_r}$；
• 非磁性媒质：$n=\sqrt{\epsilon_r}$；
• 媒介的相对介电常数 $\epsilon_r$ 与入射电磁波的频率有关，则$n$也随入射的电磁波的频率而变，即存在色散。$n=\sqrt{n(\omega)}=\sqrt{\epsilon_r(\omega)}$。

2. 平面电磁波及其性质

每个光波可以分解为许多平面波的叠加。

下式为沿$z$轴传播的波动方程：

$$\begin{cases} \frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\\ \frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial z^2}-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\overrightarrow{B}}{\partial t^2}=0 \end{cases}$$

我们可以使用行波法来求解上面的二阶偏微分方程。其中，最简单的简谐波是这个方程的一个特解：

$$\overrightarrow{E}=\overrightarrow{A}[\omega(\frac{z}{v}-t)]\\ \overrightarrow{B}=\overrightarrow{A'}[\omega(\frac{z}{v}-t)]$$

$v$为平面波在介质中的传播速度（即光速），$\omega$是角频率。上式中的相位是表示振动状态的物理量，振动状态有两层含义：第一个是在确定的时刻有确定的位置；第二是可以表示下一个状态的变化趋势。

物理量之间的关系：$\omega=2\pi\nu=2\pi\frac{1}{T},~\lambda=vT$

【波面】在某一时刻，相位相同的点的空间位置，我们称为等相面或者是波面。平面波的波面是一个平面，同一波面上，任意一点的振动相同，波面的法线方向就是波矢量$k$的方向，其中$k=\frac{2\pi}{\lambda}$，我们称之为空间角频率，也可以叫做波数。

平面波的波函数可以写成如下三种形式（三种形式完全等价）

$$\begin{aligned} \overrightarrow{E}&=\overrightarrow{A}cos[\omega(\frac{z}{v}-t)]\\&=\overrightarrow{A}cos(kz-\omega t)\\&=\overrightarrow{A}cos[2\pi(\frac{z}{\lambda}-\frac{t}{T})] \end{aligned}$$

平面电磁波的性质：

• 具有单一的角频率 $\omega$，具有单一的波长 $\lambda$，单一的周期 $T$，以及单一的空间角频率 $k$。这个波在时间上和空间上，是一个无限延续的。在某一固定时刻，光波在空间上是一个以波长 $\lambda$ 为周期的余弦函数的分布；对空间中某一固定的点，该点处的光波是一个以时间 $T$ 为周期的振动，时间频率 $\nu=\frac{1}{T}$，角频率 $\omega=\frac{2\pi}{T}$。
• 平面波的时间周期性和空间周期性质是通过传播速度 $v$ 来互相联系。平面波在传播过程中，总是保持其相位不变。等相位面是一个平面，在各向同性介质中，等相位面的法线其实就是光线，光在传播过程中，它的频率是始终保持不变的（也就是说，光的颜色不会发生变化）。波长与介质的关系：$n=\frac{c}{v}=\frac{cT}{vT}=\frac{\lambda_0}{\lambda}~~\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$
• 相速度$v$：等相位面（波面）传播速度

$$\begin{matrix} kz-\omega t=const,&kdz-\omega dt=0,&v=\frac{dz}{dt}=\frac{\omega}{k} \end{matrix}$$

• 单色平面波的特点：时间周期性和空间周期性；时间和空间上是无限的。
• 任何时间和空间周期的破坏，其单色性、平面性都会遭到破坏；
• 平面波的振幅或位相若受到时间或空间的调制（比如：经过了一个透镜或者一个狭缝），那么这就属于主动破坏单色性和平面性。

单色平面波波函数的一般表达式：

$$波矢量\overrightarrow{k}：平面波的传播方向。\\ \overrightarrow{k}=k\overrightarrow{k_0}\\ 方向余弦：\overrightarrow{k_0}=\overrightarrow{i}cos\alpha+\overrightarrow{j}cos\beta+\overrightarrow{k}cos\gamma\\ （\alpha、\beta、\gamma分别为波矢量\overrightarrow{k}和x,y,z轴的三个夹角）\\ 一般表达式：\begin{aligned} \overrightarrow{E}&=\overrightarrow{A}cos(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)\\ &=\overrightarrow{A}cos[k(xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma)-\omega t] \end{aligned}\\ 复数表达式： \begin{aligned} &\overrightarrow{E}=\overrightarrow{A}exp[i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]\\ &Re[\overrightarrow{A}exp[i(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]]=\overrightarrow{A}cos(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t) \end{aligned}\\ 复振幅表达式： \begin{aligned} \tilde{E}&=\overrightarrow{A}exp(i\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})\\ &=\overrightarrow{A}exp[ik(xcos\alpha+ycos\beta+zcos\gamma)] \end{aligned}$$

复振幅表达式（只考虑光振动的空间分布时使用）

谐变电磁场的麦克斯韦方程组：

$$\begin{cases} \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{E}=0\\ \overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{H}=0\\ \overrightarrow{k}\times\overrightarrow{E}=\omega\mu\overrightarrow{H}\\ \overrightarrow{k}\times\overrightarrow{H}=-\omega\epsilon\overrightarrow{E} \end{cases}$$

由谐变电磁场的麦克斯韦方程组可得：

• 光波的方向$\overrightarrow{k}$和$\overrightarrow{E}$和$\overrightarrow{H}$的方向是垂直的，光波为横波，电矢量、磁矢量的方向均垂直波的传播方向；
• $\overrightarrow{k}$，$\overrightarrow{E}(\overrightarrow{D})$，$\overrightarrow{H}(\overrightarrow{B})$成右手系且两两垂直。

3. 球面波与柱面波，光波辐射与辐射能

除了平面波，电磁波的传播还有其他形式：球面波和柱面波。

【球面波】

• 以波面为中心的球面上具有相同的电磁场值；
• 波沿径向传播；
• 波场值（电磁波）只与距波源的远近和时间有关，与传播方向无关。

【球面波的波动函数】

$$\triangle^2E-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=0$$

解上面的方程，得到

$$发散：E=\frac{A}{r}cos[\omega(\frac{r}{v}-t)+\delta]=\frac{A}{r}cos(kr-\omega t+\delta)\\ 会聚：E=\frac{A}{r}cos[\omega(\frac{r}{v}+t)+\delta]=\frac{A}{r}cos(kr+\omega t+\delta)$$

• $A$为$r=1$处的振幅，$r=\sqrt{x^2+y^2}$
• 球面波的空间等位相面方程：$k,r=constant$，为球面

【柱面波】

• 以线波源为中心的柱面上具有相同的电磁场值；
• 波沿径向传播；
• 波场值（电磁波）只与距线波源的远近和时间有关而与传播方向无关。

【柱面波的波动函数】

$$\Delta^2E-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2E}{\partial t^2}=0~~单色柱面波解\\ 发散：E=\frac{A}{\sqrt{r}}cos[\omega(\frac{r}{v}-t)+\delta]=\frac{A}{\sqrt{r}}cos(kr-\omega t+\delta)\\ 会聚：E=\frac{A}{\sqrt{r}}cos[\omega(\frac{r}{v}+t)+\delta]=\frac{A}{\sqrt{r}}cos(kr+\omega t+\delta)$$

根据经典电磁理论：在外界能量激发下，物体中的原子成为一个振荡电偶极子从而在周围空间产生交变的电磁场以一定的速度传播，伴随着能量的传递。

电偶极子辐射的电磁波是单色的平面偏振的准球面波。

实际光波以波列的形式存在。（光源辐射为非单一频率的简谐波光源，由无数独立原子组成，波列的振动方向和相位无规则。）波列长度 $L=\tau C$

不同的原子发出的波列相互独立，同一个原子在碰撞前后发出的波列也是相互独立的。在较长的观测时间 $T(»\tau~波列存在的时间)$ 内，各个波列的振动方向和相位被完全平均，成为均匀包含任何方位振动的光——自然光，普通光源发出的光波无偏振性、互不相干。

辐射能：

电磁波的传播过程伴随着能量在空间的传递：

能量密度：$w=\frac{1}{2}(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{D}+\overrightarrow{B}\cdot\overrightarrow{H})=\frac{1}{2}(\epsilon E^2+\frac{1}{\mu}B^2)~(J/m^3)$

坡印廷矢量$\overrightarrow{S}$：描述电磁能量的传播；方向：表示能量流动的方向；大小：表示单位时间垂直通过单位面积的能量。

$$\overrightarrow{S}=\frac{1}{\mu}\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{B}=\overrightarrow{E}\times\overrightarrow{H}, ~(\overrightarrow{B}、\overrightarrow{E}、\overrightarrow{H}成右手螺旋系)$$ $$S=EH=\frac{1}{2}(\epsilon E^2+\frac{1}{\mu}B^2)v=\epsilon E^2v=\mu H^2v~~(W/m^2)$$

光强$I$:辐射强度矢量的时间平均值$\left\langle S\right\rangle$。

$$\begin{aligned} I&=\left\langle S\right\rangle=\frac{1}{T}\int_0^T Sdt=\frac{1}{T}\int_0^T\epsilon E^2vdt\\ &=v\epsilon A^2\frac{1}{T}cos^2(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t+\delta)dt=\frac{1}{2}\epsilon_0ncA^2 \end{aligned}$$

在同一介质中，比较光强时，$\epsilon_0,n,c$都是常数

$$I=\left\langle\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E}\right\rangle=\frac{1}{T}\int^T_0(\overrightarrow{E}\cdot\overrightarrow{E})dt~~\Rightarrow~~I=A^2$$