《光学工程基础》清华大学（14）- 物理光学（在两电解质分界面上的折射和反射）
1. 电磁场的连续条件（边界条件）
【预备知识】麦克斯韦（Maxwell）方程组的不同形式
\[微分形式\begin{cases} \triangledown\cdot\overrightarrow{D}=\rho\\ \triangledown\cdot\overrightarrow{B}=0\\ \triangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial{t}}\\ \triangledown\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial{t}} \end{cases}\\ 积分形式\begin{cases} \oiint_S\overrightarrow{D}\cdot{d}\overrightarrow{s}=Q\\ \oiint_S\overrightarrow{B}\cdot{d}\overrightarrow{s}=0\\ \oint_l\overrightarrow{E}\cdot d\overrightarrow{l}=-\frac{d\varPhi}{dt}=-\iint\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}\\ \oint_l\overrightarrow{H}\cdot d\overrightarrow{l}=I+\iint\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}\cdot d\overrightarrow{s}\\ \end{cases}\]之后我们使用麦克斯韦方程组的积分形式来推导电磁场的连续条件。
介质的物理性质不同，即折射率$n$不同，电磁场在界面上不连续。
电磁场连续条件：介质界面两边场量的联系（使用Maxwell方程组）
取高度h趋于零的封闭柱面、封闭曲线。
【连续条件】
\[\begin{cases} B_{1n}=B_{2n}\\ D_{1n}-D_{2n}=\frac{q}{\Delta S}\\ E_{1t}=E_{2t}\\ H_{1t}-H_{2t}=\frac{I}{\Delta l} \end{cases}\overset{if~q=0,I=0}{\Rightarrow}\begin{cases} B_{1n}=B_{2n}\\ D_{1n}=D_{2n}\\ E_{1t}=E_{2t}\\ H_{1t}=H_{2t} \end{cases}\]2. 光在两电介质分界面上的折射与反射
光在两电介质分界面上的折射与反射可以看成是光与物质相互作用的结果。
- 入射面：$(\overrightarrow{n},\overrightarrow{k_i})$面，入射角 $\theta_i$；
- 光波振动面：$(\overrightarrow{E_i},\overrightarrow{k_i})$面，任一$\overrightarrow{E}$，可分解成 $E_S$（垂直）和 $E_P$（平行）。即为电矢量所在的平面，而电矢量一般不在入射面内振动。振动面相对于入射面的夹角，我们用方位角$\alpha$来表示。
- 场分量矢量的取向：一，相对于光的传播方向$\overrightarrow{k}$，入射、反射、折射波、$\overrightarrow{E},\overrightarrow{k_0}\overrightarrow{B}$的相对取向相同；二，若观察的两个场同向，则场量的振幅比为正值，场矢量取向与规定正向相同；若观察的两个场反向，则场量的振幅比为负值，场矢量取向与规定正向相反。
我们就可以利用电磁场的连续条件，讨论界面上光波的传播方向、振幅、相位、能量、偏振态的变化。
- $\omega_1=\omega_1'=\omega_2$，入射、反射、折射的频率相等；
- $\overrightarrow{k_1},\overrightarrow{k'_1},\overrightarrow{k_2}$都在入射面内，即入射波、反射波、折射波以及法线共面；
- 反射定律：$\theta_1=\theta_1'$，入射角等于反射角；
- 折射定律：$n_1sin\theta_1=n_2sin\theta_2$。
3. 菲涅耳公式
接下来我们进一步考察反射光波和折射光波的振幅和相位的变化情况，这个规律可以用菲涅耳公式来描述。
三个光波的六个电矢量：
\[\begin{matrix} 入射：&E_{1s}=A_{1s}exp[i(\overrightarrow{k_1}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]& H_{1p}=n_1\frac{\sqrt{\epsilon_0}}{\sqrt{\mu_0}}A_{1s}exp[i(\overrightarrow{k_1}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]\\ 反射：&E_{1s}'=A_{1s}'exp[i(\overrightarrow{k_1'}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]& H_{1p}'=n_1\frac{\sqrt{\epsilon_0}}{\sqrt{\mu_0}}A_{1s}'exp[i(\overrightarrow{k_1'}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]\\ 折射：&E_{2s}=A_{2s}exp[i(\overrightarrow{k_2}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]& H_{2p}=n_2\frac{\sqrt{\epsilon_0}}{\sqrt{\mu_0}}A_{2s}exp[i(\overrightarrow{k_2}\cdot\overrightarrow{r}-\omega t)]\\ \end{matrix}\]使用前文所述的边界条件，可得
\[\begin{matrix} 振幅反射系数&r_s=\frac{A_{1s}'}{A_{1s}}=\frac{n_1cos\theta_1-n_2cos\theta_2}{n_1cos\theta_1+n_2cos\theta_2}\\振幅透射系数&t_s=\frac{A_{2s}}{A_{1s}}=\frac{2n_1cos\theta_1}{n_1cos\theta_1+n_2cos\theta_2} \end{matrix}\]同样，如果入射的光波只有$p$的偏振分量：
\[\begin{matrix} p分量的振幅反射系数：&r_p=\frac{A_{1p}'}{A_{1p}}=\frac{n_2cos\theta_1-n_1cos\theta_2}{n_2cos\theta_1+n_1cos\theta_2}\\ p分量的振幅透射系数：&t_p=\frac{A_{2p}}{A_{1p}}=\frac{2n_1cos\theta_1}{n_2cos\theta_1+n_1cos\theta_2} \end{matrix}\]【菲涅耳公式】
\[\begin{matrix} r_s=\frac{n_1cos\theta_1-n_2\theta_2}{n_1cos\theta_1+n_2cos\theta_2}&r_p=\frac{n_2cos\theta_1-n_1cos\theta_2}{n_2cos\theta_1+n_1cos\theta_2}\\ t_s=\frac{2n_1cos\theta_1}{n_1cos\theta_1+n_2cos\theta_2}&t_p=\frac{2n_1cos\theta_1}{n_2cos\theta_1+n_1cos\theta_2} \end{matrix}\]当正入射（$\theta_1\approx0$）时，菲涅耳公式简化为
\[r_s=-\frac{n-1}{n+1},~~r_p=\frac{n-1}{n+1},~~t_s=t_p=\frac{2}{n+1},\\相对折射率~n=\frac{n_2}{n_1}\]普通玻璃单面的反射率约为4%。
- 振幅比（随入射角度）为正值（+）时，两场同相，场矢量取规定的正向，其相位不变 $\delta=0$；
- 振幅比（随入射角度）为负值（-）时，两场反相，场矢量与规定的正向相反，其相位变化 $\delta=\pi$。
$\theta_B$称为布鲁斯特角。
折射波与入射波同相位，$\delta=0$，$s,p$波不发生相位变化。
反射波：
- 光疏to光密，入射角大于折射角，s光的振幅反射系数$r_s<0$；
- 光密to光疏，入射角小于反射角：$\theta_1<\theta_B,\delta_p=0$，相位变化为零，振动方向不变；$\theta_1=\theta_B,r_p=0$，没有垂直于入射面的振动；$\theta_1>\theta_B,\delta_p=\pi$，振动方向相反。
- 光密to光疏，入射角小于反射角：$\theta_1<\theta_C,r_s>0,\delta_s=0$；$\theta_1>\theta_C$，全反射，$\delta_s、\delta_p$有一缓变过程。
4. 全反射与倏逝波
反射比和投射比：
\[\begin{matrix} 反射比：\rho=\frac{W_1'}{W_1}=\frac{I_1'cos\theta_1}{I_1cos\theta_1}=(\frac{A_1'}{A_1})^2=r^2\\ 透射比：\tau=\frac{W_2}{W_1}=\frac{I_2cos\theta_2}{I_1cos\theta_1}=\frac{n_2cos\theta_2}{n_1cos\theta_1}\cdot(\frac{A_2}{A_1})^2 \end{matrix}\]两种特殊情况下的反射比$\rho$和透射比$\tau$：
1）线偏振光：入射波取任意方位角$\alpha$时，
\[\rho=(\frac{A_{1s}'}{A_{1s}})^2sin^2\alpha+(\frac{A_{1p}'}{A_{1p}})^2cos^2\alpha=\rho_ssin^2\alpha+\rho_pcos^2\alpha\\ \tau=(\frac{A_{2s}}{A_{1s}})^2sin^2\alpha+(\frac{A_{2p}}{A_{1p}})^2cos^2\alpha=\tau_ssin^2\alpha+\tau_pcos^2\alpha\]2）自然光入射时的$\rho_n$：包含所有可能方位角$\alpha$的光波，对反射比取平均：
\[\rho_n=\left\langle\rho_\alpha\right\rangle=\left\langle\rho_ssin^2\alpha\right\rangle+\left\langle\rho_pcos^2\alpha\right\rangle=\frac{1}{2}(\rho_s+\rho_p)\]反射随入射角的变化：
- $\theta_1<45^\circ$时，$\rho$小，接近正入射的情况；
- 随$\theta_1$的增加，$\rho_s,\rho_p$增加；趋近于$90^{\circ}$时，$\rho\rightarrow1$；
- $\theta_1=\theta_B$时，$\rho_p$，全偏振。
一般情况：$\rho_s>\rho_p$；
正入射的时候，$\rho=(\frac{n-1}{n+2})^2=(\frac{n_2-n_1}{n_2+n_1})^2$，$n_1\approx n_2$时，$\rho\rightarrow0$ 可以实现减反增透的效果。
偏振关系：
- $\because r_s\ne r_p,t_s\ne t_p~\therefore\alpha'\ne\alpha$ 方位偏转电介质界面时，反射、折射是线偏光；
- 自然光入射情况下当$\theta_1=\theta_B$时，$(\theta_1+\theta_2=\pi/2,tan\theta_B=n)$，反射光——s分量线偏光，折射光——p分量占优势的部分偏振光；
- 一般地，反射、投射光均为部分偏振光。反射——s分量占优；投射——p分量占优。
【全反射现象】当$n_1>n_2$时，由折射定律$\frac{sin\theta_1}{sin\theta_2}=\frac{n_2}{n_1}<1$，若入射角$\theta_1$满足$sin\theta_1>\frac{n_2}{n_1}$，则$sin\theta_2>1$，折射角不存在，入射光全部反射回第一介质，称为全反射。
全反射的条件：$n_1>n_2$，光波由光密to光疏。全反射临界角$\theta_c=sin^{-1}\frac{n_2}{n_1}$。
全反射现象的特点：
- 无投射能量损失
- 反射时由位相的变化
- 存在倏逝波
$\theta_1\ge\theta_c,\rho=1$; $\theta_c$附近，$\rho$急剧变化（曲线的斜率非常大）。
反射光中s与p波的相位差$\delta$:
\[\begin{aligned} tan\frac{\delta}{2}&=tan\frac{\delta_s-\delta_p}{2}\\ &=\frac{cos\theta_1\sqrt{sin^2\theta_1-n^2}}{sin^2\theta_1} \end{aligned}\]- $\theta_1=90^\circ或\theta_c$时，$\delta=0$，入射线偏振光得到反射线偏振光。
- $\theta_1>\theta_c$时，且入射光的$\alpha\ne0或\pi/2$时，$\delta=0~pr~\pi$，反射光一般为椭圆偏振光。
【倏逝波】实验表明，在全反射时，这个光波不是绝对的在界面上被全部反射回第一介质，而是透入第二个介质一定的深度，并沿着这个界面流过波长量级的距离后，重新返回第一介质，我们把这种情况叫做倏逝波。（有折射光波进入第二媒质，投入深度与入射波长有关）
倏逝波沿着第二媒质表面传播的波。穿透深度为波长量级：$z_0=\frac{\lambda_1}{2\pi\sqrt{sin^2\theta_1-n^2}}$。能量的流动沿界面x方向，流过波长$\lambda$量级，最后返回第一媒质。
全反射现象，既无反射（透射）能量的损失，又有相应的相位变化，并存在倏逝波。
菲涅耳棱体，产生椭圆偏振光，利用了全反射时的位相变化。
利用倏逝波产生受抑全反射。
【受抑全反射】控制进入第二媒质的倏逝波的深度以影响第一媒质中的全反射效应。
- 光纤利用全反射传递光，传导光能，传递光学图像。
- 利用全反射棱镜，对光盘系统进行高精度的对焦。
5. 金属表面的反射
金属是导电媒介，属于良导体，它的电导率 $\sigma\ne0$ 非常大，同时，在外界场的作用下，会产生传导电流 $\overrightarrow{J}=\sigma\overrightarrow{E}$。
由金属中的Maxwell方程，
\[\begin{cases} \triangledown\cdot\overrightarrow{E}=0~~~\rho=0\\ \triangledown\cdot\overrightarrow{B}=0\\ \triangledown\times\overrightarrow{E}=-\frac{\partial\overrightarrow{B}}{\partial t}\\ \triangledown\times\overrightarrow{H}=\overrightarrow{j}+\frac{\partial\overrightarrow{D}}{\partial t}~~\overrightarrow{j}=\sigma\overrightarrow{E} \end{cases}\]我们可以得到金属中的波动微分方程：
\[\triangledown^2\overrightarrow{E}-\mu\sigma\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}-\mu\epsilon\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\]使用金属中的波动微分方程，我们可得到单色平面波的波动微分方程：
\[\left.\begin{matrix} \triangledown^2\overrightarrow{E}-\mu\sigma\frac{\partial\overrightarrow{E}}{\partial t}-\mu\epsilon\frac{\partial^2\overrightarrow{E}}{\partial t^2}=0\\ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{A}e^{-i(\omega t-\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r})},~~\frac{\partial}{\partial t}=-i\omega \end{matrix}\right\}~\rightarrow~\triangledown^2\overrightarrow{E}-\mu\sigma(-i\omega)\overrightarrow{E}-(\mu\epsilon)(-i\omega)^2\overrightarrow{E}=0\\ \Rightarrow~~\triangledown^2\overrightarrow{E}+\omega^2\mu(\epsilon+i\frac{\sigma}{\omega})\overrightarrow{E}=0\]比较金属中和电介质中的两个波动微分方程：
\[\begin{aligned} 金属中&~~~~\triangledown^2\overrightarrow{E}+\omega^2\mu(\epsilon+i\frac{\sigma}{\omega})\overrightarrow{E}=0\\ 电介质中&~~~~\triangledown^2\overrightarrow{E}+\omega^2\mu(\epsilon)\overrightarrow{E}=0 \end{aligned}\]对比上述两个波动微分方程，我们可定义复介电常数$\tilde{\epsilon}$，其中$\tilde{\epsilon}_r$为复相对介电常数：
\[\tilde{\epsilon}=\epsilon+i\frac{\sigma}{\omega}=\epsilon_0\tilde{\epsilon}_r\]使用复相对介电常数，我们可将金属中的波动微分方程表示为：
\[\triangledown^2\overrightarrow{E}+\omega^2\mu\tilde{\epsilon}\overrightarrow{E}=0\]根据前一节对相速度的定义，我们可以得到复相速度 $\tilde{v}$：
\[\tilde{v}=\frac{1}{\sqrt{\mu\tilde{\epsilon}}}=\frac{1}{\sqrt{\mu_r\tilde{\epsilon}_r}}\frac{1}{\sqrt{\mu_0{\epsilon}_0}}=\frac{c}{\sqrt{\mu_r\tilde{\epsilon}_r}}\]复折射率 $\tilde{n}$：
\[\begin{aligned} \tilde{n}&=\frac{c}{\tilde{v}}=\sqrt{\mu_r\tilde{\epsilon}_r}=\frac{c}{\omega}\tilde{k}\\ \tilde{n}&=n(1+i\kappa)\\ \tilde{k}&=\frac{\omega}{c}\tilde{n}=k\tilde{n}=nk(1+i\kappa) \end{aligned}\]- $\tilde{n}$：金属的折射率决定光波在金属中的传播速度;
- $\kappa$：衰减系数决定光波在金属中传播时，振幅的衰减（吸收特性）
【在金属中与在无限大均匀透明介质中的区别】仅在于实常数$\epsilon,k$被复常数$\tilde{\epsilon},\tilde{k}$代换了，前面的讨论方法和导出的菲涅尔公式仍然适用。
金属中光波的振幅$\tilde{A}exp(-kn\kappa x)$，随着进入金属中厚度$x$的增加，振幅按指数规律衰减；随着光波频率 $k=\frac{\omega}{c}$ 和衰减系数 $\kappa$ 的增加，衰减更加明显。
设 $kn\kappa=\beta$ ($kn\kappa$是很大的数)，则振幅为：$\overrightarrow{A}e^{-\beta x}$。
穿透（趋肤）深度$x_0$：振幅下降到界面处$(x=0)$的$1/e$深度：
\[\beta x_0=1,~~x_0=\frac{1}{\beta}=\frac{1}{kn\kappa}=\frac{\lambda}{2\pi}\cdot\frac{1}{n\kappa}\\ x_0=\frac{1}{kn\kappa}\approx\sqrt{\frac{2}{\omega\mu\sigma}}（良导体时）\]金属的穿透深度很小。金属中有大量的自由电子，故存在着明显的吸收，金属一般是非透明的。
单色波在金属中和透明介质中满足的微分方程相似，差别仅在于由复常数 $\tilde{\epsilon},\tilde{nu},\tilde{n},\tilde{k}$ 替代了相应的常数，故而可对单色波适用推广到复数邻域的菲涅耳公式，解决金属表面的反射问题。
\[sin\tilde{\theta}_2=\frac{1}{\tilde{n}}sin\theta_1（引入\tilde{n}后的折射定律）\\ 菲涅耳公式：\begin{cases} \tilde{r}_s=\frac{sin(\theta_1-\tilde{\theta}_2)}{sin(\theta_1+\tilde{\theta}_2)}=|\tilde{r}_s|exp(i\delta_s)\\ \tilde{r}_p=\frac{tg(\theta_1-\tilde{\theta}_2)}{tg(\theta_1+\tilde{\theta}_2)}=|\tilde{r}_p|exp(i\delta_p) \end{cases}\\ 反射率公式：\begin{cases} \rho_s=|\tilde{r}_s|^2=\frac{(n-cos\theta_1)^2+n^2\kappa^2}{(n+cos\theta_1)^2+n^2\kappa^2}\\ \rho_p=|\tilde{r}_p|^2=\frac{(n-\frac{1}{cos\theta_1})^2+n^2\kappa^2}{(n+\frac{1}{cos\theta_1})^2+n^2\kappa^2} \end{cases}\]利用菲涅耳公式讨论金属反射的特点：
- 金属表面有很强的反射能力。
正入射时（$\theta_1=0,\rho=\rho_p=\rho_s=\frac{n^2(1+\kappa^2)+1-2n}{n^2(1+\kappa^2)+1+2n},when ~\sigma=0,\tilde{\epsilon}=\epsilon+i\frac{\sigma}{\omega}\rightarrow\epsilon,\tilde{n}\rightarrow n,\kappa\rightarrow0$），$\rho=(\frac{n-1}{n+1})^2$与透明介质的形式相同。
但是对于一般的金属介质，$\sigma,\kappa,\rho$均很大，金属表现出高反射比和非透明性。
- 反射比与入射波长有关。
同一金属，不同波长下$\rho$不同。
- 金属的反射比与入射角有关。
【金属与电介质比较】
【相同点】$\theta_1=0时,~\rho_s,\rho_p$重合，$\rho_s,\rho_p\rightarrow1,\rho_p$有一极小值；
【不同点】即使$\theta_0(正入射)，\rho也很大$，任何情况下，金属表面有很强的反射；$\rho_{p-min}\ne0$，金属表面反射时不产生全偏振。
- 反射光一般为椭圆偏振光。
金属表面反射时，$\tilde{r_s},\tilde{r_p}$为复数$\Rightarrow~~\sigma\ne0~or~\pi$。当入射光的$\alpha\ne0~or~\pi/2$时，反射光一般是椭圆偏振光。 线偏振光经金属样品表面反射变为椭圆偏振光：椭圆偏振光的性质取决于金属样品的光学性质；测椭圆偏振光的参数可以得到样品的光学参数$(n,d)$。