《光学工程基础》清华大学（20）- 物理光学（平面的双光束干涉）
1. 干涉条纹的定域
【复习】分波面干涉中，加入小孔光阑，目的就是为了光源的大小，提高光场的空间相干性。当 $\beta\cdot b\ge\lambda$ 时，就不能观察到清晰的干涉条纹了。所以分波面干涉，需要满足 $\beta\cdot b\le\lambda$ 的条件，光源越小，干涉条纹的对比度就越小，但是干涉条纹的亮度不够；光源大时，亮度增加了，但是干涉条纹的对比对会变差。所以说，条纹的亮度和清晰度之间是一对矛盾。
分波面干涉的特点：
- 有限大小的光源（ $\beta\cdot b\le\lambda$ ）
- 非定域条纹
- 亮度不够
分振幅干涉的特点：
- 拓展光源（ $\beta=0$ 条件，可以使用拓展光源提高干涉条纹的亮度）
- 定域条纹
- 实现 $\beta=0$ 的干涉
在拓展光源 $S$ 照明平行平板的过程中，拓展光源上不同的点在空间某点引入不同的光程差变化 $\delta\Delta$，也造成了不同的相位差，这样就会影响 $P$ 点不能确定为亮点或者是暗点，所以造成了整个空间干涉条纹对比度下降，影响了干涉条纹的对比度。
【干涉条纹的定域】但是对于分振幅装置来说，在一些特殊位置，如某一平面或者曲面上，可以让拓展光源不同的点在该面上的干涉条纹重合，形成清晰的干涉条纹。这个特殊的位置，可以是平面或者曲面，称为干涉条纹的定域。所谓干涉条纹的定域，就是能够得到清晰干涉条纹的区域。
光源上中心点 $S$ 以 $\theta$ 角入射到平行平板的光束，到达 $P$ 点的光程差 $\Delta$，与光源上其它点，如 $S'$，以相同角度入射到平行平板的光束到达 $P$ 点的光程差 $\Delta'$ 都相等，所以，$P$ 点的亮暗程度是确定的。而光源上以其他角度入射的光束，会落在交平面上的其他位置，并且，以相同角度入射的光束，到达该点的光程差都相同，所以，该点的亮暗程度也是确定的。换句话说，拓展光源上不同的点，在透镜的焦面上，各自形成了一组干涉条纹，但是这些干涉条纹之间是互相重合的，所以并不影响干涉条纹的对比度，反倒增加了干涉条纹的亮度。
分振幅法的优点：1）可以实现 $\beta=0$；2）可用面光源，大小不会受限。
【楔形平板（上下表面有一个小夹角的平板）的定域如何求出】从拓展光源上不同的点，通过楔形平板的上下表面反射，由着些成对的光束的交点连线组成的轨迹曲面，就是定域面的位置。这种方法称为 $\beta=0$ 作图法。（取两相干光束交点之轨迹曲面）
在分振幅干涉中，
- 非定域条纹：点光源形成的干涉条纹；
- 定域条纹：拓展光源形成的干涉条纹。
2. 平行平板产生的等倾干涉
【平行平板产生的等倾干涉的强度分布】在定域面（透镜焦面）上，到达 $P$ 点的两束光，各自强度分别为 $I_1$ 和 $I_2$，则 $P$ 点的干涉强度 $I_P$ 由两光束干涉的强度分布公式给出：
\[I(P)=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2cosk\Delta}\\~\\ \begin{aligned} \Delta&=n(AB+BC)-n'AN+\frac{\lambda}{2}\\ &=2nAB-n'AN+\frac{\lambda}{2}\\ &=2nhcos\theta_2+\frac{\lambda}{2} \end{aligned}\]
从 $\Delta$ 的表达式可以看出，$\Delta\sim n,h,\theta_2(\theta_1)$。对于平行平板而言，折射率 $n$ 以及厚度 $h$ 一般是常数，因此光程差 $\Delta$ 仅仅是 $\theta_1$ 的函数。相对于平板倾角相同的光束，若在同一条干涉条纹上，因此这种条纹叫等倾干涉条纹。
等倾干涉条纹的特点：
- 入射角相同的光线，光程差相同，形成同一条干涉条纹；
- 垂直于平板方向上的干涉条纹，是一些同心圆环；
- 增大光源，亮度增加，不影响亮纹分布和可见度；
- 光程差在 $\theta_1=0$ 时最大，最高干涉级在中心：
条纹半径：$r_N=f\cdot\theta_{1N}$。
$\theta_{1N}$ 是从中心向外数第 $N$ 个亮纹对透镜中心的张角，也就是条纹的角半径。条纹的角半径实际上是表征从平行平板反射的光束的角度值 $\theta_{1N}$；而根据角半径 $\theta_{1N}$ 和透镜的焦距 $f$，我们就可以得到条纹的半径 $r_N$。
$\theta_{1N}$ 的求法流程：1）第 $N$ 个亮纹对于中心处的干涉级差；2）；两处程差变化；3）相应条纹角半径 $\theta_{1N}$。
根据光程差公式 $\Delta=2nhcos\theta_2+\frac{\lambda}{2}$，我们可以得到第 $m$ 级条纹满足的方程：
\[m(\theta)=\frac{2nh}{\lambda}cos\theta_2+\frac{1}{2}.\]设中心点的干涉级数为 $m_0$，则可得：
\[2nh+\frac{\lambda}{2}=m_0\lambda,\]条纹中心的干涉级次最大，但是中心未必是最亮点（即 $m_0$ 不一定是整数）。我们令 $m_0=m_1+q$，其中 $m_1$ 是最靠近中心的亮条纹的整数干涉级，而 $q<1$，从中心向外计算，第 $N$ 个亮条纹的干涉级次 $m$：
\[m=m_1-(N-1)\]由此我们可以得到：
\[\begin{cases} 2nhcos\theta_{2N}+\frac{\lambda}{2}=[m_1-(N-1)]\lambda\\ 2nh+\frac{\lambda}{2}=m_0\lambda（中心条纹） \end{cases}\\~\rightarrow~2nh(1-cos\theta_{2N})=(N-1+q)\lambda\]而 $\theta_{1N}$ 和 $\theta_{2N}$ 都很小，所以：
\[1-cos\theta_{2N}\approx\theta_{2N}^2/2\approx\frac{n'^2\theta_{1N}^2}{2n^2}\]故而，通过近似，我们可以化简得到：
\[\theta_{1N}\approx\frac{1}{n'}\sqrt{\frac{n\lambda}{h}}\sqrt{N-1+q}\]$q$ 为中心干涉级小数。
从上式中可以看出：1）$\theta_{1N}\propto\sqrt{\frac{1}{n}}$，故而可知，在 $N$ 相同时，板越厚，半径越小；2）$\theta_{1N}\propto\sqrt{n\lambda}$，故而可知，折射率越大、波长越大、半径越大。
干涉条纹的第二个特征参数是条纹角间距 $\Delta\theta1$：相邻条纹对透镜中心的张角。
由 $m\lambda=2nhcos\theta_2+\frac{\lambda}{2}$，得到
\[|d\theta_1|=|\frac{n\lambda}{2n'^2hsin\theta_1}|\\ 即\Delta\theta_1\propto\frac{1}{h}\cdot\frac{1}{\theta_1}\]此处说明：1）条纹里疏外密；2）平板越厚，条纹越密。
由条纹的角间距，可以得到等倾干涉条纹的横向间距 $e$：
\[e=f\cdot d\theta_1=\frac{n\lambda}{2n'^2hsin\theta_1}\cdot f\]从这个公式可以看出，中央条纹宽（中央的$\theta_1$比较小），边缘条纹窄。
下图左子图显示的反射光束的干涉条纹，右子图显示的是透射光束的干涉条纹。
在上图可以看出，在普通未镀膜平板玻璃的情况下，两反射光束强度大致是相等的，所以干涉条纹的对比度比较好，而透射的两光束强度相差很大（从图中可以看出来是$96/0.16$），所以干涉条纹的对比度就很差。
与发射条纹比较：
- 相同点：1）定域条纹，在无穷远或透镜焦面；2）$\Delta\approx\theta_1$为等倾条纹；
- 不同点：1）透射光的光程差 $\Delta$ 里头没有半波损失（没有 $\frac{\lambda}{2}$这一项），而反射条纹中有半波损失；2）透射光的条纹可见度比较差。
3. 楔形平板产生的等厚干涉
3.1 定域面和定域深度
干涉条纹定域面一般为空间曲面，求干涉条纹定域面常用 $\beta=0$ 的作图法。
定域面的位置相对于楔形平板的楔棱方向有一定规律：
- 当光源与楔形平板的棱边各在一方时，定域面在楔形平板的上方；
- 当光源与楔形平板在同一方时，定域面在楔形平板的下方；
- 当光源位于楔形平板正上方时，定域面在楔形平板的中间。
【定域深度】定域面前后一定范围内，可观测到条纹范围的尺度。定域面由 $\beta=0$ 作图决定，定域深度的大小由 $\beta=\frac{\lambda}{b}$ 决定。
光源的宽度 $b$ 确定以后，定域深度也就随之确定了。$b$越小，定域深度越大。当$b\rightarrow 0$时，$定域深度\rightarrow\infty$，此时为非定域条纹。
3.2 等厚干涉强度分布
光程差 $\Delta$ 的计算比较复杂。在楔形平板不太厚，楔角不大的情况下，我们可以用平行平板近似：
\[\Delta=2nhcos\theta_2+\frac{\lambda}{2}（半波损）\]等厚干涉条纹特点：
- 第一种情况时楔板上的观察范围很小，此时 $\theta_1$ 可以视为常数；
- 第二种情况是光源位于无穷远处时，$\theta_1$ 可视为常数。
通过 $\Delta=2nhcos\theta_2+\frac{\lambda}{2}$，易得 $\Delta\approx nh$，而当楔板的光学材料确定之后，光强分布就仅仅时厚度 $h$ 的函数。当光束正入射到楔板的表面（$\theta_2=0$），光强分布公式就可以变为：
\[\Delta=2nh+\frac{\lambda}{2}\]3.3 等厚干涉条纹分布
等厚干涉条纹特征：标准的等厚条纹是平行于楔棱的等距直条纹。
- 1）当光束正入射到楔板表面的时候，$\Delta=2nh+\frac{\lambda}{2}$。当 $h=0$ 时，$\Delta=\frac{\lambda}{2}$，楔棱处是暗纹。
- 2）$\Delta=2nh+\frac{\lambda}{2}$，随着 $h$ 的增大，光程差 $\Delta$ 增大，干涉级次 $m$ 增高。
- 3）由条纹间距表达式 $e=\frac{\lambda}{2n\alpha}$（其中 $\alpha$ 为楔棱的楔角），我们可知 $e\sim\lambda,\frac{1}{\alpha}$ ，也就是说，楔角越大的时候，条纹间距越小，条纹越密。相邻条纹对应的厚度差：$\Delta=\frac{\lambda}{2n}=\frac{\lambda/n}{2}$。
3.4 白光干涉条纹
白光条纹特征：
- $h=0$ 处为白色或黑色（各波长的零级重合；反射为黑，透射为白）；
- 当 $\Delta$ 增加时，各色波长分开，每一级条纹（除了0级之外）形成一个彩带。
白光条纹产生的条件：白光的波长范围比较宽，带宽 $\Delta\lambda$ 一般有几百纳米，因此它的相干长度特别短，楔板能产生干涉的厚度差 $h$小于相干长度，即
\[h\le\frac{\lambda^2}{2n(\Delta\lambda)},\]也就是说，只有在 $0$ 光程差附近，才能看到白光干涉条纹。
【实际光源在平板干涉中的影响】
- 光源非单色性的影响（时间相干性）。$\Delta\lambda=\frac{\lambda^2}{2nh}$，当楔板厚度 $h$ 比较大的时候，$\Delta\lambda$要比较小，所以我们要用单色性好的光源。
- 光源大小的影响（空间相干性）。当光源有一定大小时，从光源上不同位置入射到平板上的角度不同，所以形成既有等厚条纹特征又有等倾条纹特征的混合型条纹。当光源经过准直后垂直入射时，光源宽度对条纹的影响可以减小到最小。