《光学工程基础》清华大学（22）- 物理光学（平行平板的多光束干涉及其应用）
1. 平行平板的多光束干涉
参与干涉的光束强度越接近，形成的干涉条纹的对比度就越好。因此在普通玻璃表面不镀膜（反射率为4%）的情况下，反射光书中前两束光束产生的干涉条纹对比度比较好，这时我们就考虑双光束干涉。如果玻璃表面镀了膜，假设反射率为90%，我们同样可以依次算出多次折射、反射后，各光束的强度值，如下图：
在普通玻璃表面镀膜的情况下，反射光各光束的强度差别比较大，而透射光各光束的强度差别不大，可以产生比较好的对比度的干涉条纹。所以得到结论：反射率 $\rho$不同，平板反射光和透射光的相对光强就不同，从条纹对比度出发，1）$\rho$低的时候，我们考虑双光束干涉；2）$\rho$高的时候，我们考虑透射光多光束干涉。
提高 $\rho$的途径：镀金属膜或增反介质膜。
1.1 干涉的强度分布公式
【多光束干涉的基本模型】
入射光的振幅为 $A^{(i)}$，从介质 $n'$到 $n$的振幅反射系数为 $r$，透射系数为 $t$，从介质 $n$到 $n'$的振幅反射系数为 $r'$，透射系数为 $t'$。在上述假设之后，我们求在透镜交面上 $P'$点和反射交面上 $P$点上的多光束光强分布。
根据我们建立的模型，我们可以写出反射光和透射光各光束的振幅：
振幅的特点：相邻两光束的振幅按等比级数衰减，并且相邻两光束的光程差（即相位差）是相等的。把所有的反射光加起来就可以得到到达 $P$点的多光束反射光干涉的振幅；把所有的透射光加起来就可以得到到达 $P'$点的多光束透射光干涉的振幅。
相邻光束：
\[\begin{cases} \Delta=2nhcos\theta\\ \delta=\frac{2\pi}{\lambda}2nhcos\theta \end{cases}\]相邻光束的振幅按等比级数衰减，相位差都是 $\delta$。略去共同指数项的因子并求这些等比级数的和，我们就可得到到达 $p'$点的透射光的光束合成波的复振幅：
\[\begin{aligned} A^{(t)}&=(tt'+tt'r'^2e^{i\delta}+tt'r'^4e^{i2\delta}+···)A^{(i)}\\ &=[tt'(1+r'^2e^{i\delta}+r'^4e^{i2\delta}+···)]A^{(i)}\\ &=\frac{tt'}{1-r'^2e^{i\delta}}A^{(i)} \end{aligned}\]利用菲涅耳公式：
\[r=-r'~~~~r^2=r'^2=\rho\\ tt'=1-r^2=1-\rho=\tau\]故而透射光在 $P'$点的强度为：
\[\begin{aligned} I^{(t)}&=\tilde{E}^{(t)}\cdot\tilde{E}^{(t)*}\\ &=\frac{\tau^2}{(1-\rho)^2+4\rho sin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\\ &=\frac{(1-\rho)^2}{(1-\rho)^2+4\rho sin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)} \end{aligned}\]为了简化上式，定义精细度 (fitness) 系数：
\[F=\frac{4\rho}{(1-\rho)^2}\]则，我们可以化简透射光在 $P'$点的强度$I^{(t)}$的表达式：
\[I^{(t)}=\frac{1}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\\ \frac{I^{(t)}}{I^{(i)}}=\frac{1}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}\]同样可以得到反射光在 $P$点的强度：
\[I^{(r)}=\frac{Fsin^2\frac{\delta}{2}}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\\ \frac{I^{(r)}}{I^{(i)}}=\frac{Fsin^2\frac{\delta}{2}}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}\]我们可以看出，反射光在 $P$点的归一化强度与透射光在 $P'$点的归一化强度之和为1，说明满足能量守恒定律。
\[\frac{I^{(t)}}{I^{(i)}}+\frac{I^{(r)}}{I^{(i)}}=1\]1.2 干涉图样的特征
（1）条纹形状、性质
干涉条纹光强 $I\sim\delta,~\rho$ ($I$是 $\delta$和 $\rho$的函数)，当 $\rho$确定后，光强分布仅仅取决于相位差 $\delta$:
\[\delta=\frac{2\pi}{\lambda}2nhcos\theta\]对于平行平板而言，$h$确定，$\delta$仅与光束的倾角 $\theta$有关。所以，平行平板多光束干涉图样具有双光束等倾干涉图样的特征：光强 $I$仅仅与光束的倾角 $\theta$有关。
（2）透射光：$I^{(t)}\sim\rho,~\delta$
\[I^{(t)}=\frac{1}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\]- 当 $\delta=2m\pi$ 时，$I_M^{(t)}=I^{(i)}$，为亮纹，透射光的强度最大；
- 当 $\delta=(2m+1)\pi$ 时，$I_m^{(t)}=\frac{I^{(i)}}{1+F}$，为暗纹的位置。
由上式可知 $I_m^{(t)}\sim\rho$的变化：
- $\rho\uparrow$，$I_m^{(t)}\downarrow$，可见度好；
- $\rho\downarrow$，$I_m^{(t)}\uparrow$，可见度差。
通过$\frac{I^{(t)}}{I^{(i)}}=\frac{1}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}$，我们可以法线，多光束等倾干涉条纹，具有条纹又细又锐的特征；表面光强反射率 $\rho$越大，干涉条纹就越细越锐。
（3）反射光：$I^{(r)}\sim\rho,~\delta$
\[I^{(r)}=\frac{Fsin^2\frac{\delta}{2}}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\]同样由上式，可知
- 当 $\delta=2m\pi$时，$I_m^{(r)}=0$，为暗纹位置；
- 当 $\delta=(2m+1)\pi$时，$I_M^{(r)}=\frac{F}{1+F}I^{(i)}$，为亮纹位置，其中$I_M^{(r)}$随 $\rho$的增大而增大。
上图纵坐标 $y=\frac{I^{(r)}}{I^{(i)}}$。
由于透射光干涉条纹与反射光干涉条纹的光强分布互补，所以在相对应位置上，透射光干涉条纹为亮纹的位置反射光干涉条纹就是暗纹，如下图。
1.3 干涉条纹的锐度
干涉条纹的锐度，是表征条纹细锐程度的一个参量。它表示强度随相邻光束位相差变化快慢的物理量，用条纹半高宽度 $\Delta\delta$表征条纹的锐度。$\Delta\delta$表征两个半强度点对应的相位差范围。
故而由上面方程可以解出条纹锐度 $\Delta\delta$：
\[\Delta\delta=\frac{4}{\sqrt{F}}=\frac{2(1-\rho)}{\sqrt{\rho}}\]精细度 $s$的定义：
\[s=\frac{2\pi}{\Delta\delta}=\frac{\pi\sqrt{\rho}}{1-\rho}\]上式中可以看出，反射率 $\rho$越高，条纹锐度越小。
2. Fabry-Perot干涉仪
2.1 结构及原理
F-P干涉仪主体部分由两块内表面严格平行的玻璃平板组成，两板内表面镀金属膜、介质膜或高反膜，两板间距为 $h$，拓展光源 $S$置于透镜 $L_1$的前焦面上，光源上的一点对应于一个方向的平行光出射。平行光经过F-P干涉仪两内表面组成的空气平行平板的多次反射，在透镜 $L_2$的焦面上，形成平行平板的多光束干涉条纹，也就是同心圆环状等倾干涉条纹。
- 当两板间距 $h$变化的时候，称为F-P干涉仪；
- 当两板间距 $h$固定的时候，称为F-P标准具。
2.2 强度分布
平行平板多光束的强度分布公式：
\[I^{(t)}=\frac{\tau^2}{(1-\rho)^2+2\rho sin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\\ \delta=\frac{2\pi}{\lambda}2nhcos\theta+2\phi\]其中，$2\phi$ 表示金属膜表面反射相变，一般 $\phi=0~or~\pi$。
由于金属有明显的吸收，吸收系数我们用 $\alpha$来表示，所以有：
\[\rho+\tau+\alpha=1\]将上式代入平行平板多光束的强度分布公式，我们可以化简得到：
\[\begin{aligned} I^{(t)}&=\frac{(1-\rho-\alpha)^2}{(1-\rho)^2+2\rho sin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)}\\ &=(1-\frac{\alpha}{1-\rho})^2\frac{1}{1+Fsin^2\frac{\delta}{2}}I^{(i)} \end{aligned}\]从上式可以看出，与介质膜相比，条纹分布不变。但当 $\delta=2m\pi$时，$I^{(t)}\ne I^{(i)}$，强度峰值下降。
2.3 用于谱线的精细结构分析（应用）
谱线的精细结构分析的测量原理：光源中有两谱线：$\lambda_2=\lambda_1+\Delta\lambda$。代入干涉级次$m_2,m_1$，可得
\[\begin{aligned} \Delta m&=m_1-m_2\\ &=(\frac{2h}{\lambda_1}+\frac{\phi}{\pi})-(\frac{2h}{\lambda_2}+\frac{\phi}{\pi})\\ &=\frac{2h(\lambda_2-\lambda_1)}{\lambda_1\lambda_2} \end{aligned}\]对于同级条纹的相对位移 $\Delta e$表征级差的量度：
\[\Delta m=\frac{\Delta e}{e}\]
需要说明的是，这里的干涉级次的差别 $\Delta m$，是由于各波长的中心干涉条纹的级次不为整数造成的。而 $\lambda_1\lambda_2$近似等于平均波长的平方 $\bar{\lambda}^2$，平均波长可以用低分辨率的光谱仪来测量。因此根据公式 $\Delta m=\frac{2h(\lambda_2-\lambda_1)}{\lambda_1\lambda_2}$，我们就可以得到 $\Delta\lambda$：
\[\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1=\frac{\Delta e}{e}\frac{\bar{\lambda}^2}{2h}\]用上面的式子我们就可以求微小的光程差 $\Delta\lambda$。
下面讨论F-P标准具的分光特性参量。
- 标准具常数：$(\Delta\lambda)_{S.R}$；
- 标准具的分辨本领。
标准具常数（也称为自由光谱区、自由光谱范围）：当 $\frac{\Delta e}{e}=1$时，
\[(\Delta\lambda)_{S.R}=\frac{\bar{\lambda}^2}{2h}.\]由标准具常数的推导过程，我们可以知道，在 $(\Delta\lambda){S.R}$的范围内，不会产生条纹的越级现象，所以称为自由光谱范围。它表明，标准具所能测量的最大波长差，也就是F-P标准具的量程。由公式 $(\Delta\lambda){S.R}=\frac{\bar{\lambda}^2}{2h}$可知，$h$越小，F-P标准具的量程就越大。
标准具的分辨本领（其中 $(\Delta\lambda)_m$由瑞利判据求出）：
\[A=\frac{\bar{\lambda}}{(\Delta\lambda)_m}\]
假设两条纹间的最小相位差增量为 $\epsilon$时，合强度曲线上的两条纹刚好可以分辨。根据条纹强度分布公式计算合强度：
\[I_{ALL}=\frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2\frac{\delta_1}{2}}+\frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2\frac{\delta_2}{2}},\]然后我们将鞍点 $F$处合最大值 $G$处的相位值分别代入合强度公式：
\[\begin{cases} I_{ALL}=\frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2\frac{\delta_1}{2}}+\frac{I^{(i)}}{1+Fsin^2\frac{\delta_2}{2}}\\ \delta_1=2m\pi+\frac{\epsilon}{2},~\delta_2=2m\pi-\frac{\epsilon}{2},~\epsilon=\delta_1-\delta_2\\ \delta_1=2m\pi,~~\delta_2=2m\pi-\epsilon \end{cases}\]利用瑞利判据，鞍点处的强度应该是最大值强度处强度的 $81\%$，然后将$81\%$代入，即得，当 $I_F=0.81I_M$时，
\[\frac{2I_i}{1+F(\frac{\epsilon}{4})^2}=0.81(I_i+\frac{I_i}{1+F(\frac{\epsilon}{2})^2}),\]最后整理可得：
\[(F\epsilon^2)^2-15.5(F\epsilon^2)-30=0\\ 解得~\epsilon=\frac{4.15}{\sqrt{F}}=\frac{2.07\pi}{s}\]也可以反表示出条纹精细度 $s$（$F$为条纹精细度系数）：
\[s=\frac{\pi\sqrt{F}}{2}\]根据平行平板的多光束干涉的相位差公式，我们可以得到$m$级明纹位置满足的方程：
\[\delta=\frac{2\pi}{\lambda}2nhcos\theta+2\phi=2m\pi,\]对上式两边求导可得
\[\Delta\delta=\frac{4\pi nhcos\theta}{\lambda^2}\Delta\lambda\]忽略相位差公式中的小量 $2\phi$，并带入求导后的公式 $\Delta\delta$，可得
\[\Delta\delta\approx2m\pi\frac{\Delta\lambda}{\lambda}.\]当条纹刚好可以分辨时，我们知道
\[\Delta\delta=\epsilon,~\Delta\lambda=(\Delta\lambda)_m\]代入前面公式，可得分辨本领 $A$：
\[\begin{aligned} A&=\frac{\bar{\lambda}}{(\Delta\lambda)_m}\\ &=2m\pi\frac{s}{2.07\pi}\\ &=0.97ms=Nm \end{aligned}\]有效光束数：$N=0.97s$。
标准具的可测量波长范围介于最小分辨波长和自由光谱波长之间：
\[(\Delta\lambda)_m<(\Delta\lambda)<(\Delta\lambda)_{S.R}\] \[A\infty h,~h\uparrow~\Rightarrow~m\uparrow~\Rightarrow~A\uparrow\\ A\infty\rho,~\rho\uparrow~\Rightarrow s\uparrow~\Rightarrow~\Delta\lambda_m\downarrow~\Rightarrow~A\uparrow\]3. 光学薄膜基础
光学薄膜的工作原理就是多光束平行平板的干涉原理。
【光学薄膜】
- 光学薄膜泛指在光学器件或光电子元器件表面用物理化学等方法沉积的透明介质膜。
- 产生增透、反射、分光、分色、带通或截止等光学现象的各类膜系；
- 增透膜、高反膜、滤光膜、分光膜、偏振与消偏振膜。
光学薄膜已经广泛应用于光学与光电子技术的各个领域，制造各种光学仪器。
3.1 单层膜
仔细观察，我们可以知道单层膜和平行平板多光束干涉模型的区别：平行平板多光束干涉模型介质外部的折射率是一样的，而在单层膜模型中，上面的折射率为 $n_0$，下面的为 $n_G$。
反射光和透射光的复振幅：
\[反射光：\tilde{A}^{(r)}=\frac{r_1+r_2e^{i\delta}}{1+r_1r_2e^{i\delta}}\tilde{A}^{(i)}\\透射光：\tilde{A}^{(t)}=\frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{i\delta}}\tilde{A}^{(i)}\\其中，相邻光束相位差~\delta=\frac{2\pi}{\lambda}2nhcos\theta\]薄膜的反射系数和透射系数：
\[r=\frac{r_1+r_2e^{i\delta}}{1+r_1r_2e^{i\delta}},~~~~t=\frac{t_1t_2}{1+r_1r_2e^{i\delta}}\\~\\ \begin{aligned} 反射率~\rho&=rr^*=\frac{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2cos\delta}{1+r_1^2r_2^2+2r_1r_2cos\delta}\\ &\propto f(\theta,n_0,n,n_G,h,\lambda) \end{aligned}\\~\\ \begin{aligned} 透射率~\tau&=\frac{n_Gcos\theta_G}{n_0cos\theta_0}\cdot tt^*\\ &=\frac{n_Gcos\theta_G}{n_0cos\theta_0}\cdot\frac{t_1^2t_2^2}{1+r_1^2r_2^2+2r_1r_2cos\delta} \end{aligned}\]- $\rho+\tau=1$，不考虑吸收损耗，故而满足能量守恒定律。
- $\rho$与$r_1,r_2$和$\delta$有关。
正入射时，界面反射系数 $r_1$和 $r_2$分别是薄膜的上界面和下界面的反射系数：
\[r_1=\frac{n_0-n}{n_0+n},~~~~r_2=\frac{n-n_G}{n+n_G}\]将 $r_1$以及 $r_2$代入之前的公式，可以得到整个膜系的反射率 $\rho$：
\[\rho=\frac{(n_0-n_G)^2cos^2\frac{\delta}{2}+(n_0\frac{n_G}{n}-n)^2sin^2\frac{\delta}{2}}{(n_0+n_G)^2cos^2\frac{\delta}{2}+(n_0\frac{n_G}{n}+n)^2sin^2\frac{\delta}{2}}\]
- 当 $n=n_0~or~n_G$ 的时候，相当于没有空气薄膜；
- 当 $n<n_G$ 的时候，所有反射率曲线都在 $4\%$直线下方，说明反射率是降低的，可以达到减反增透的目的；
- 当 $n>n_G$ 的时候，所有曲线都在中间直线的上方，说明反射率增大，可以达到减透增反的作用;
- 光学厚度 $nh$ 的影响，从图中可以看出，反射率 $\rho$ 随着横坐标 $nh$ 的变化发生剧烈变化的，由 $\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\cdot 2nh$, 当 $\delta$ 为 $\pi$ 的奇数倍的时候，反射率 $\rho$ 取极值：$n>n_G$的时候取极大值，$n<n_G$的时候取极小值。
4. 单层膜与多层膜
4.1 常用单层膜
（1）单层增透膜
\[when~n<n_G,~nh=(2k+1)\frac{\lambda_0}{4},\\ \rho_{\lambda0}=\frac{(\frac{n_0n_G}{n}-n)^2}{(\frac{n_0n_G}{n}+n)^2}=\frac{(n_0-\frac{n^2}{n_G})^2}{(n_0+\frac{n^2}{n_G})^2}\]此时 $\rho$ 取得最小值，有最大增透减反的作用。
从上式可以看出，当分子等于零就可以得到 $n=\sqrt{n_0n_G}$，对于 $n_0=1$（也就是空气），$n_G=1.5$（一般玻璃的折射率）以及 $\rho=0$ 的时候，我们可以得到 $n=1.22$。但是现实生活中，并不存在折射率为1.22的物质，我们可以找到折射率最接近的物质为 $n=1.38$ 的氟化镁，代入 $n=1.38$ 可得 $\rho_0=0.013$，即不镀膜的时候，表面的反射率为 $4\%$ ，而不镀膜的时候反射率可以降低到 $1.3\%$。
- 中心波长 $\lambda_0$。在满足 $nh=\frac{\lambda_0}{4}$ 的时候，有最大增透作用；
- 反射率 $\rho$ 与入射角有关；
- 斜入射时，引入有效折射率 $\tilde{n}$ 后，用正入射时 $\rho$ 的表达式：
我们将其中的部分式子用特殊的符号进行表示：
\[s分量：\tilde{n}_1=n_1cos\theta_1,~~~~\tilde{n}_2=n_2cos\theta_2\\ p分量：\tilde{n}_1=\frac{n_1}{cos\theta_1},~~~~\tilde{n}_1=\frac{n_2}{cos\theta_2}\]将上面的符号带入，我们就可得到化简后的表达式：
\[r_s=-\frac{\tilde{n}_1-\tilde{n}_2}{\tilde{n}_1+\tilde{n}_2},~~~~r_p=-\frac{\tilde{n}_2-\tilde{n}_1}{\tilde{n}_2+\tilde{n}_1}\]（我们可以发现，斜入射与正入射的表达式形式相同）。
对于自然光，我们可以认为s波和p波各占一半：
\[\rho_n=\frac{1}{2}(\rho_p+\rho_s)\]（2）单层增反膜
\[when~n>n_0,n_G~and~nh=(2k+1)\frac{\lambda_0}{4},\\ \rho_{\lambda0}=\frac{(n_0-\frac{n^2}{n_G})^2}{(n_0+\frac{n^2}{n_G})^2};~~\Rightarrow~~n\uparrow,~\rho\uparrow.\]（3）半波长膜
\[when~nh=\frac{\lambda_0}{2},\\ \rho=(\frac{n_0-n_G}{n_0+n_G})^2\]我们可以发现反射率 $\rho$ 与镀层材料的反射率$n$无关，故而称之为虚膜。
4.2 多层膜
此处我们用双层膜来距离多层膜
单层膜 $(n_2,n_G)$
\[\tilde{r}=\frac{r_2+r_3e^{i\delta_2}}{1+r_2r_3e^{i\delta_2}}\\ \delta_2=\frac{2\pi}{\lambda}2n_2h_2cos\theta_2\]双层膜等效为 $(n,\tilde{r})$
\[r_双=\frac{r_1+\tilde{r}e^{i\delta_1}}{1+r_1\tilde{r}e^{i\delta_1}}\\ \delta_1=\frac{2\pi}{\lambda}2n_1h_1cos\theta_1\]故而可求出双层膜的反射比为：
\[\rho_双=r_双\cdot r_双^*=\frac{a^2+b^2}{c^2+d^2}\]【多层高反膜】由多层高低折射率相间的 $\frac{\lambda_0}{4}$ 膜组成，反射率为 $\rho_{\lambda0}$.
【干涉滤光片】
- 全介质滤光片；
- 金属反射膜干涉滤光片；
表征光学性能的参量
- 中心波长 $\lambda_0=\frac{2nhcos\theta_2}{m}$；
- 波长半宽度 $\Delta\lambda=\frac{(1-\rho)\lambda}{m\pi\sqrt{\rho}}$；
- 峰值透过率 $\tau=(\frac{I_t}{I_i})_{max}$ (中心波长处的 $\tau$,一般来说，$\tau=1~or~\tau<1$)。