《光学工程基础》清华大学（24）- 物理光学（典型孔径的夫朗和费衍射）
1. 夫朗和费衍射公式的意义
1.1 衍射系统与透镜的作用
夫琅和费衍射的要求:
\[z_1>>\frac{(x_1^2+y_1^2)_{max}}{\lambda}\]【透镜的作用】我们使用透镜将无穷远处的衍射图样成像在透镜的焦面上，也就是在透镜的焦面上，我们看到的是无穷远处的衍射图案的一个像。
加上透镜后，夫琅和费衍射公式中变为：
在上面公式中，下面两个参数与透镜有关：
- 复数因子
- 位相因子
对于复数因子 $C$ 而言，我们设 $r$ 为孔径原点发出的子波到 $P$ 点的光程，则有
\[r=\sqrt{f'^2+(x^2+y^2)}\approx f'+\frac{x^2+y^2}{2f'}\]
故而复数因子 $C$ 可表示为
\[C=\frac{1}{i\lambda f'}exp(ikr)\]其实际意义为孔径原点到点 $P$的相位延迟。
对于位相因子，
\[\begin{matrix} \theta_x\approx\frac{x}{f'}&\theta_y\approx\frac{y}{f'} \end{matrix}\]
则孔径上其它点发出的光波与 $C$ 点的相位差 $\Delta$ 为：
\[\begin{aligned} \Delta&=CH\\ &=x_1\cdot sin\theta_x+y_1\cdot sin\theta_y\\ &=x_1\cdot\frac{x}{f'}+y_1\cdot\frac{y}{f'} \end{aligned}\]故而积分中的相位因子 $\delta$ 为：
\[\delta=\frac{2\pi}{\lambda}(x_1\frac{x}{f'}+y_1\frac{y}{f'})\]上式表明，夫琅和费衍射积分是孔径上各点子波的相干叠加，结果取决于各点发出的子波与中心点发出子波的相位差，这就是夫琅和费衍射公式的意义。实际上，夫琅和费衍射公式揭示了惠更斯假设（次波和次波相干叠加的理念）。
2. 矩孔衍射和单缝衍射
我们首先在孔径面上建立坐标系（我们假设孔径面为矩形，$x$方向上的宽度为$a$，$y$方向上的宽度为$b$）
设矩形孔用单位平面波照射，则有
\[\tilde{E}(x_1,y_1)=\begin{cases} 1,&矩孔内\\0,&矩孔外 \end{cases}\]代入前面得出的夫琅和费衍射的公式中：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(x,y)&=C\iint_{-\infty}^\infty\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left[-ik(x_1\frac{x}{f'}+y_1\frac{y}{f'})\right]dx_1dy_1\\ &=C\int_{-\frac{a}{2}}^{\frac{a}{2}}\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}exp\left[-ik(x_1\frac{x}{f'}+y_1\frac{y}{f'})\right]dx_1dy_1\\ &=Cab\frac{sin(\frac{kxa}{2f'})\cdot sin(\frac{kyb}{2f'})}{(\frac{kxa}{2f'})\cdot(\frac{kyb}{2f'})}\\ &=Cab\frac{sin(\frac{\pi xa}{\lambda f'})\cdot sin(\frac{\pi yb}{\lambda f'})}{(\frac{\pi xa}{\lambda f'})\cdot (\frac{\pi yb}{\lambda f'})} \end{aligned}\]如果我们令 $\alpha=\frac{\pi xa}{\lambda f'}=\frac{\pi}{\lambda}asin\theta_x$，$\beta=\frac{\pi yb}{\lambda f'}=\frac{\pi}{\lambda}bsin\theta_y$，则我们可得
\[\tilde{E}(x,y)=\tilde{E}_0\frac{sin\alpha}{\alpha}\cdot\frac{sin\beta}{\beta}\]故而可得 $P$点的光强度：
\[I=\tilde{E}\cdot\tilde{E}^*=I_0\left(\frac{sin\alpha}{\alpha}\right)^2\cdot\left(\frac{sin\beta}{\beta}\right)^2\]【矩孔衍射的强度分布特点】
- $I(P)\sim a,~b$，受$x,y$方向上孔径大小影响。
我们先观察沿 $y$轴方向的分布。在 $y$轴上，$x=0$，则有
\[\alpha\rightarrow0,~(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2\rightarrow1,\\ \Rightarrow I_y=I_{0y}(\frac{sin\beta}{\beta})^2\]如此化为一维的情况：
1）峰值位置。当 $\beta=0$，主极大值 $I_{max}=I_0$，即在 $\theta_y=\frac{y}{f'}=0$处，也就是几何像点的位置；2）极小值位置。当 $\beta=n\pi,~n=\pm1,\pm2,\pm3···$时，$I=0$，有极小值。而由$\frac{\pi yb}{\lambda f'}=n\pi$，可以解出 $y=n\frac{\lambda f'}{b}$。极小值与极小值之间的距离为 $e=\frac{\lambda f'}{b}$，主极大值的宽度为 $Y=2e$；3）次极值的位置。当 $\frac{d}{d\beta}(\frac{sin\beta}{\beta})^2=0$，即 $tg\beta=\beta$，$\beta$值处存在次极大相邻极小值间，有一次极大，其中方程$tg\beta=\beta$用作图法求解。次极大为不等距分布；4）衍射效应正比于入射波长，反比于孔径线度。由 $sin\theta_x=\pm\frac{\lambda}{a}$，可得条纹角半宽度 $\Delta\theta_x=\frac{\lambda}{a}$
而衍射在 $x$轴的分布与 $y$轴相同。同时使用式子
\[I=I_0(\frac{sin\alpha}{\alpha})^2\cdot(\frac{sin\beta}{\beta})^2\]可知其它点（非轴上点）上的强度大小可以由轴上两点的乘积决定。
【矩孔的夫琅和费衍射图样】
中央零级在点源的几何像位置，中央亮斑集中了全部能量的80%，周围是 $x,y$方向上的等间距的暗线。
【单缝衍射】
单缝衍射是矩孔衍射的一个特例：某个方向上趋于无穷大。
干涉条纹没有沿着条纹展开的方向无限的延伸下去，这是因为我们观察到的干涉条纹是位于单缝衍射的主极大里的干涉条纹，其他位置由于衍射的存在，强度不高，所以观察不到。所以我们观察到的双缝干涉，是单缝衍射的干涉，每一条单缝都是一个衍射。这就是干涉与衍射的区别与联系。
3. 圆孔衍射
上面是圆孔衍射的装置图，和上文中的矩孔衍射装置图基本一致，只是在圆孔衍射中，用极坐标 $r_1,\varphi_1$ 以及 $r,\varphi$ 来表示。
3.1 光强分布
设圆孔半径为 $a$，则孔径函数为：
\[\tilde{E}(x_1,y_1)=\begin{cases} 1,&\sqrt{x_1^2+y_1^2}\le a\\0,&\sqrt{x_1^2+y_1^2}>a \end{cases}\\ or\\ 极坐标：\tilde{E}(r_1,\varphi_1)=\begin{cases} 1,&r_1\le a\\0,&r_1>a \end{cases}\]直角坐标变极坐标的一些规则：
\[\begin{cases} x_1=r_1cos\varphi_1\\y_1=r_1cos\varphi_2 \end{cases}~~\begin{cases} x=rcos\varphi\\y=rsin\varphi \end{cases}\\dx_1dy_1=r_1dr_1d\varphi_1\]故而极坐标下的复振幅分布的公式为：
\[\begin{aligned} &E(x,y)=C\iint\tilde{E}(x_1,y_1)exp\left[-ik(x_1\frac{x}{f'}+y_1\frac{y}{f'})\right]dx_1dy_1\\ \Rightarrow&\tilde{E}(r,\varphi)=C\int_0^{2\pi}d\varphi_1\int_0^aexp\left[-ik\frac{r}{f'}(r_1cos\varphi_1cos\varphi+r_1sin\varphi_1sin\varphi)\right]r_1dr_1 \end{aligned}\]设 $\frac{r}{f'}=\theta$，则有
\[\tilde{E}(\theta,\varphi)=C\int_0^{2\pi}\int_0^aexp[-ik\theta r_1cos(\varphi_1-\varphi)]\cdot r_1dr_1d\varphi_1\]因为交换积分次序后的内层积分为一个0阶Bessel函数，故而可得：
\[\int_0^{2\pi}exp[-ik\theta r_1cos(\varphi_1-\varphi)]d\varphi_1=2\pi J_0(kr_1\theta)\]将上式子代入则得：
\[\begin{aligned} \tilde{E}(\theta,\varphi)&=C\int_0^a2\pi J_0(kr_1\theta)\cdot r_1dr_1\\ &=2\pi C\int_0^a(kr_1\theta)J_0(kr_1\theta)d(kr_1\theta)\cdot\frac{1}{(k\theta)^2}\\ &~~~令kr_1\theta=x,~当r_1=a,x=ka\theta\\ &=\frac{2\pi C}{(k\theta)^2}\int_0^{ka\theta}xJ_0(x)dx\\ &~~~利用递推公式\int_0^txJ_0(x)dx=tJ_1(t)\\ &=\pi a^2C\frac{2J_1(ka\theta)}{ka\theta} \end{aligned}\]则我们可得圆孔衍射光强分布为
\[\begin{matrix} I(\theta)=I_0\left(\frac{2J_1(ka\theta)}{ka\theta}\right)^2&I_0=(\pi a^2C)^2 \end{matrix}\]3.2 衍射图样
令 $z=ka\theta=\frac{kar}{f'}$，则
\[I(z)=I_0\left(\frac{2J_1(z)}{z}\right)^2\] \[when~z=0,~\lim_{x\to 0}\frac{J_1(z)}{z}=\frac{1}{2},\\ then,~we~can~know~that~I=I_0\]中心点的强度是最大的，当 $z\ne 0$，$J_1(z)=0,I=0$，为暗环。
次级极大位置由二阶Bessel函数的零点决定，即
\[\frac{d}{dz}\left[\frac{J_1(z)}{z}\right]=-\frac{J_2(z)}{z}=0\]下图是Bessel函数表：
中央亮斑称为爱里斑，大部分能量集中于其中，半径 $z=1.22\pi$，$ka\theta=ka\frac{r_0}{f'}=1.22\pi$，于是我们可以求出爱里斑的半径为：
\[r_0=\frac{0.61\lambda}{a}f'\]下面分析 $I(P)$的表达式：
- 由于 $z=ka\theta$，当 $\lambda,a$一定，$I(p)\sim\theta$，此时是一个中心亮，明暗相间的同心圆环。在 $\theta=0$（即几何像点）处强度最大，随 $\theta$变化，会出现强度的极大、极小。
- 极大、极小值的分布不等间距。第一极小位置为 $z=1.22\pi$，或者用中央光斑角半径 $\theta=\frac{0.61\lambda}{a}=\frac{1.22\lambda}{D}$来表示。
- 衍射效应与孔径线度成反比，与波长成正比。$\theta\sim\frac{\lambda}{a}$
- 当 $a\uparrow,\theta\to0$，几何光学“光的直线传播”；
- 当 $\lambda\to0,\theta\to0$，几何光学是波动光学在 $\lambda\to0$时的近似；
- $a\downarrow,\theta\uparrow$，衍射的放大作用$\to$光学变换。
- $\theta\sim\lambda$，白光时，得到白光光谱；
- $\theta\sim\frac{1}{\alpha}$，孔径沿某方向均匀拉伸时，衍射图样沿同方向以相同比例缩小。
下图是椭圆的衍射图样：
