《光学工程基础》清华大学（34）- 物理光学（偏振光的干涉）
偏振光干涉的条件
- 振动方向相同
- 频率相同
- 相位差恒定
晶体出射光 —— 两束振动方向垂直的线偏光；再经检偏器，两分量再透光轴上的投影，满足振动方向一致，产生干涉。
干涉条件：1）恒定的相位差，2）频率相同。
1. 平面偏振光的干涉
1.1 平面偏振光干涉的强度
前面光源经过起偏器变成线偏振光，在经过一个晶片产生固定的相位差，然后再通过检偏器把他们投影到一个方向上，这样在后面就可以得到偏振光的干涉。
透过晶片后两个分量：
\[\begin{aligned} \tilde{E}_x&=a\cos\alpha\\ \tilde{E}_y&=a\sin\alpha\cdot e^{\delta} \end{aligned}\]其中，晶体产生的相位差为：$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\lvert n_o-n_e\rvert d$ 。然后我们再把他们投影到 $A$上：
\[\begin{aligned} \tilde{E}'&=\tilde{E}_x\cos\beta=a\cos\alpha\cos\beta\\ \tilde{E}''&=\tilde{E}_y\sin\beta=a\sin\alpha\sin\beta\cdot e^{i\delta} \end{aligned}\]因为方向一致，所以是同一方向上的标量叠加。标量叠加的结果就是把 $\tilde{E}',\tilde{E}''$两者相加，然后再乘以它们的共轭，就可以得到平面偏振光干涉强度的公式：
\[I=a^2\cos^2(\alpha-\beta)-a^2\sin2\alpha\sin2\beta\sin^2\left(\frac{\pi\vert n_o-n_e\vert d}{\lambda}\right)\\ I\sim\alpha,\beta,相位差\delta\]1.2 正交偏振系统
$P\perp A$，有 $\alpha-\beta=\frac{\pi}{2}$
\[\begin{aligned} I_\perp &=I_0\sin^22\alpha\sin^2(\frac{\pi\vert n_o-n_e\vert d}{\lambda})\\ &=I_0\sin^22\alpha\sin^2(\frac{\delta}{2}) \end{aligned}\]故而可知，1）当 $\alpha=0,\frac{\pi}{2}$ 时，$I_\perp=0$ 光强为零；2）当 $\alpha=\pm\frac{\pi}{4}$ 时，$I_\perp=I_0\sin^2(\frac{\delta}{2})$ 光强极大。
对于光强取到极大值的情况（上段情况2），我们可以知道：
- 若 $\delta=2m\pi$，晶片起全波片作用，$I_perp=0$，得暗纹；
- 若 $\delta=(2m+1)\pi$，晶片起半波片作用，$I_perp=I_0$，得亮纹；
1/2波片的作用：线偏振光相对于波片的快轴转一个二倍的 $\alpha$角度，现在 $\alpha=\pm\frac{\pi}{4}$，那么 $2\alpha$ 就相当于起偏器的方向转到了检偏器的方向，所以起偏器和检偏器的方向是平行的，故而光可以全部透过。
1.3 平行偏振系统
$P\parallel A$，有 $\alpha-\beta=0$，则有
\[I_\parallel=I_0[1-\sin^22\alpha\sin^2(\frac{\pi\vert n_o-n_e\vert d}{\lambda})]\]观察可知，$I_\perp,I_\parallel$两者互补，两者之和为 $I_0$。
当 $\alpha=\pm\frac{\pi}{4}$时，
\[I_\parallel=I_0\cos^2(\frac{\delta}{2})=I_0\cos^2(\frac{\pi\vert n_o-n_e\vert d}{\lambda})\]此时，
- 若 $\delta=2m\pi$，则有 $I_\parallel=I_0$，为亮纹（起全波片作用）；
- 若 $\delta=(2m+1)\pi$，则有 $I_\parallel=0$，为暗纹（起半波片作用）。
1.4 白光干涉
白光干涉强度应是各单色光干涉强度非相干叠加。
\[I_\perp(\Sigma色)=\sum_i(I_0)_i\sin^22\alpha\sin^2\frac{\delta_i}{2}\]为什么是各种光自己和自己干涉呢？因为干涉的条件之一就是频率相同，故而只能红光和红光干涉，蓝光和蓝光干涉……
波长不同，$\delta_i$不同，$I_{0i}$不同，对 $I_\perp$的贡献也不同：
\[\begin{matrix} \lambda_i=\frac{\vert n_o-n_e\vert d}{m}&I_i=0;\\ \lambda_i=\frac{\vert n_o-n_e\vert d}{m+1/2}&I_i= I_M; \end{matrix}\]故而呈现干涉色（彩色条纹），且有
\[I_\parallel(\Sigma色)=I_0(白)-I_\perp(\Sigma色)\]说明，$I_\parallel(\Sigma色)$ 与 $I_\perp(\Sigma色)$ 成互补色，此为色偏振现象。另外，平行光干涉系统是一个等厚干涉，可以观察到晶体厚度不等时等厚干涉的干涉条纹。
2. 会聚偏振光的干涉
本节主要讨论发散或会聚偏振光透过晶体时形成的干涉。
除中心光线外，发生双折射，两出射光束相位差为：
\[\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\vert n_o-n_e'\vert\frac{d}{cos\Psi}\]其中，$n_o,n_e'$是与折射角为 $\Psi$的波法线相应的o光、e光的折射率。
因为光轴沿着晶面表面的法线方向，所以光轴和法线组成的这个主截面（一个面就退化成了一条线），根据这个折射定律，折射光线在入射面内。所以折射的光线所在的入射面就是主平面了。在同一个圆周上，由光线和光轴组成这个主平面方位是逐点变化的（主平面是光线跟光轴组成的，光轴是垂直的中心线，而光线是沿着圆锥母线的，所以光线的方向在不同的位置的方向是不一样的。这样就造成了光线和光轴组成的主平面方位是逐点变化的）。
\[A_e=a\cos\alpha\\ A_o=a\sin\alpha\]OS就是某一位置的主平面e光振动在 主平面面内，o光垂直于主平面振动。
出射光在检偏器上投影分量为：
\[\begin{aligned} A_{2e}&=-A_ee^{i\delta}\sin\alpha=-ae^{i\delta}\cos\alpha\sin\alpha=-\frac{a}{2}e^{i\delta}\sin2\alpha\\ A_{2o}&=A_o\cos\alpha=a\sin\alpha\cos\alpha=\frac{a}{2}\sin\alpha \end{aligned}\]可得会聚光干涉强度分布公式：
\[\begin{aligned} I_\perp&=I_0\sin^22\alpha\sin^2(\frac{\delta}{2})\\ &=I_0\sin^22\alpha\sin^2(\frac{\pi\vert n_o-n_e\vert d}{\lambda\cos\Psi}) \end{aligned}\]通过会聚光干涉强度分布公式，我们可以知道其强度分布特点：
- 干涉光强度分布与入射角有关（$I_\perp\sim\Psi$），以居中光线为中心的同心圆环状干涉条纹（因为相位差是波长的函数，所以应该是等色线）；
- 干涉光强度分布同时还与入射面相对于正交偏振器透光轴的方位 $\alpha$有关：$I_\perp\sim\alpha$；
几个例子
上图中代替方法的优点：
- 充分利用光能
- 无回授光
- 可以控制干涉条纹的对比度
图中1/2波片的作用：让线偏振光相对于跟快轴的夹角转2倍的这个夹角的角度，故而其作用为转变线偏振光的方向。为什么要转方向呢？因为我们参考镜为固定的（已知），而被侧面表面的材料未知，故其反射率不是固定的。而反射率不固定，它们两个反射回来的光的强度如果相差比较大，干涉条纹对比度就会很差。
通过旋转1/2波片的角度旋转，可以调节入射偏振光的方位。入射线偏振光的方向变化的时候，它在偏振分光棱镜上两个互相垂直的分量的大小就可以调节。如此，我们就可以根据被检测面反射率的大小，来调节前面入射线偏振光的角度，而入射到被检测面这一壁的分量就可以控制了。从而得到对比度比较好的一组干涉条纹。