《光学工程基础》清华大学（4）- 应用光学（理想光学系统）
1. 理想光学系统的基本概念
【理想光学系统】抛开光学系统的具体结构$(r,d,n)$，将仅在光学系统的近轴区存在的完善成像拓展成在任意大的空间中以任意宽的光束都成立的理想模型，该理想模型就是理想光学系统。
- 【点物成点像】【完善成像】根据近轴区的成像规律，任何一个物点发出的光线在系统的折射或反射作用下所有的出射光线仍然相交与一点。
- 【共轭成像（物象之间，是具有共轭关系的）】每一个物点对应于唯一的一个像点。
- 【共线成像】如果光学系统的物空间和像空间都是均匀介质，则入射光线和出射光线均为直线。点对应点，直线对应直线，平面对应平面。（在应用光学中，除非特别说明，物空间和像空间默认为均匀介质）
【共轴理想光学系统特性】
- 位于光轴上的物点对应的共轭像点必然位于光轴上；位于过（包含）光轴的某一个截面内的物点对应的共轭像点必然位于同一平面内；过（包含）光轴的任意截面成像性质都是相同的。于是我们可用一个过（包含）光轴的界面来代表一个共轴系统。垂直于光轴的物平面，它的共轭像平面也必然垂直于光轴。
- 垂直于光轴的平面物所成的共轭平面像的几何形状完全与物相似，在整个垂轴物平面上无论哪一部分，物和像的大小比例等于常数（横向放大率）。
- 一个共轭理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和横向放大率；或者一对共轭面的位置和横向放大率，以及轴上的两对共轭点，则所有其他物点的像点都可以根据这些已知的共轭面和共轭点来表示。这些共轭点称为基点，这些共轭面称为基面。如何操作？
2. 理想光学系统的基点与基面
【像方焦距】（以像方主点为原点）：
\[f'=\frac{h}{tanU'}\]无限远轴外物点发出的光束，是与光轴成一定夹角的平行光，入射到光学系统里面。根据理想光学系统的共线成像的规则，他将成像与过$F'$的一个垂轴平面上。这个垂轴平面就称为【像方焦平面】。
物方焦距（以物方主点为原点，符号规则与近轴光学相同）：
\[f=\frac{h}{tanU}\]【物方主平面和像方主平面的关系】我们让入射光线的平行光线和出射的平行光线的投射高度$h$相等，那么对于$Q$和$Q'$来说，它们就互为物象关系，也就是说$Q$点的像就是$Q'$点，物方主平面和像方主平面是一对共轭面，并且它的垂轴放大率为$+1$。
一个共轴理想光学系统，如果已知两对共轭面的位置和横向放大率；或者一对共轭面的位置和横向放大率，以及轴上的两对共轭点的位置，则所有其它物点的像点都可以根据这些已知的共轭面和共轭点来表示。
| 一定要注意**物方和像方的位置**！ |
3. 图解法求像
对于确定的光学系统，给定物体位置、大小、朝向，求其像的位置、大小、正倒以及虚实。
【图解法求像】已知一个理想光学系统的主点（平面）和焦点位置，利用光线通过它们之后的性质，对物空间给定的点、线和面，通过画图追踪典型光线求出像的方法称为【图解法求像】。
【典型光线及性质】
- 平行于光轴入射的光线，他经过系统后过像方焦点；
- 过物方焦点的光线，他经过系统后平行于光轴；
- 倾斜于光轴入射的平行光束经过系统后会交于像方焦平面上的一点；
- 自物方焦平面上一点发出的光束经系统后成倾斜于光轴的平行光束；
- 共轭光线在主面上的投射高度相等。
| 一定要注意主点和焦点的位置（另，注意实物和虚物的区分！） |
关于实操讲解，点击链接。
4. 解析法求像
【解析法求像的理论依据】已知主平面这一对共轭面、以及无限远物点与像方焦点和物方焦点与无限远像点这两对共轭点，则其它一切物点的像点都可以根据这些已知的共轭面和共轭点来表示。这就是【解析法求像的理论依据】。
对于牛顿公式物和像的位置相对于光学系统的焦点来确定，物距是以物方焦点为原点，像距以像方焦点来衡量，符合规则和近轴光学完全一致。
利用相似三角形的关系。具体操作点击链接
牛顿公式：
\[xx'=ff'\]高斯公式:
\[\frac{f}{l}+\frac{f'}{l'}=1\]垂轴放大率：
\[\begin{aligned} x'&=\frac{ff'}{x}\\ \Rightarrow&x'+f'=\frac{ff'}{x}+f'=\frac{f'}{x}(x+f)\\ \Rightarrow&\frac{x'+f'}{x+f}=\frac{f'}{x}=\frac{l'}{l}\\ \Rightarrow&\beta=-\frac{f}{x}=-\frac{f}{f'}\frac{f'}{x}=-\frac{f}{f'}\frac{l'}{l} \end{aligned}\]当光学系统的物空间和像空间的介值相同时（大部分情况），$f'=-f$，有
\[\begin{matrix} \frac{f}{l}+\frac{f'}{l'}=1&\Rightarrow&\frac{1}{l'}-\frac{1}{l}=\frac{1}{f'}\\ \beta=-\frac{f}{x}=-\frac{f}{f'}\frac{f'}{x}=-\frac{f}{f'}\frac{l'}{l}&\Rightarrow&\beta=\frac{l'}{l} \end{matrix}\]| 对横向放大率的讨论： 1. 若$\beta>0$，即$y$和$y'$同号，表示成**正立**像；反之$y$和$y'$异号，成倒立像。 2. 若$\beta>0$，即$l$和$l'$同号，表示物象**同侧**，物象**虚实相反**；反之$l$和$l'$异号，物象虚实相同。 3. 若$|\beta|>0$，则$|y'|>|y|$，成**放大**像；反之$|y'|<|y|$，成缩小项。 |
5. 理想光学系统的放大率
【轴向放大率】：是指相聚的变化和物距的变化之比。
\[\alpha=\frac{dx'}{dx}(牛顿公式)=\frac{dl'}{dl}(高斯公式)\]根据牛顿公式：
\[xx'=ff'\overset{微分}{\Rightarrow}xdx'+x'dx=0\\ \alpha=\frac{dx'}{dx}=-\frac{x'}{x}\]将垂轴放大率$\beta$和轴向放大率$\alpha$写在一起，可得二者关系：
\[\left.\begin{matrix} \alpha=\frac{dx'}{dx}=-\frac{x'}{x}\\ \beta=\frac{y'}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x'}{f'} \end{matrix}\right\}\alpha=-\beta^2\frac{f'}{f}=\frac{n'}{n}\beta^2\]上述变换中利用了$\frac{f'}{f}=-\frac{n'}{n}$。
物方介质与像方介值一样时，有
\[\alpha=\beta^2\]轴上线段的轴向放大率：它是以这条线段的起点和终点的垂轴放大率是相关的。
\[\begin{aligned} \bar{\alpha}=\frac{\Delta x'}{\Delta x}&=\frac{x_2'-x_1'}{x_2-x_1}\\&=\frac{n'}{n}\beta_1\beta_2 \end{aligned}\]推导过程：
\[\Delta x'=x_2'-x_1,\ {利用牛顿公式得到}\ \frac{ff'}{x_2}-\frac{ff'}{x_1}=-ff'(\frac{x_2-x_1}{x_1x_2})\\ \bar{\alpha}=\frac{\Delta x'}{\Delta x}=\frac{x_2'-x_1'}{x_2-x_1}=-\frac{ff'}{x_1x_2}=-\frac{f'}{f}(-\frac{f}{x_1})(-\frac{f}{x_2})=\frac{n'}{n}\beta_1\beta_2\]【角放大率】（定义与近轴区是有区别的！）
| 近轴光学系统 | 理想光学系统 |
|---|---|
| $\gamma=\frac{U'}{U}$ | $\gamma=\frac{tanU'}{tanU}$ |
角放大率和垂轴放大率以及轴向放大率的关系(和近轴光学系统是一样的)：
\[\begin{matrix} \gamma=\frac{n}{n'}\frac{1}{\beta}&and& \alpha\gamma=\beta \end{matrix}\]【理想光学系统的节点】光学系统中角放大率等于1的一堆共轭点称为节点。
\[\gamma=\frac{n}{n'}\frac{1}{\beta}\ \ \frac{f'}{f}=-\frac{n'}{n}\\ \beta=\frac{y'}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x}{f'}=\frac{n}{n'}\] \[\begin{matrix} \Rightarrow x_J=f'&x_J'=f \end{matrix}\]在同一介质中：$\begin{matrix}f'=-f&x_J=f'&x_J'=f\end{matrix}$，节点$J$、$J'$与主点$H$、$H'$重合！
平行于光轴的光线入射理想光学系统，当理想光学系统绕通过像方节点$J'$的轴线摆动时，像点位置不变。
6. 理想光学系统焦距关系
证明上节中所用的公式 $\frac{f'}{f}=-\frac{n'}{n}$。
\[\begin{aligned} l\ tanU=&h=l'\ tanU'\\ (x+f)tanU&=(x'+f')tanU' \end{aligned}\]使用下述公式将$x$和$x'$用$f$和$f'$表征
\[\beta=\frac{y'}{y}=-\frac{f}{x}=-\frac{x}{f'} \begin{cases} x=-\frac{y}{y'}f\\x'=-\frac{y'}{y}f \end{cases}\]于是得到
\[(-\frac{y}{y'}f+f)tanU=(-\frac{y'}{y}f'+f')tanU'\\\ \\ \begin{matrix} \Rightarrow& fytanU=-f'y'tanU'\\ &\\ \Rightarrow&fyu=-f'y'u'（小角度下） &\\ \Rightarrow&\frac{f'}{f}=-\frac{n'}{n}（使用拉赫不变量J=nuy=n'u'y'）\\ &\\ &证毕 \end{matrix}\] \[\left.\begin{matrix} \frac{f'}{f}=-\frac{n'}{n}\\ fy\ tanU=-f'y'\ tanU' \end{matrix}\right\}ny\ tanU=n'y'\ tanU'\]理想系统下的拉赫不变量
\[J=ny\ tanU=n'y'\ tanU'\]如果不是特别指明，焦距指的就是像方焦距。
| 平型光管法测焦距 |
我们使用倾斜的平行光入射到系统里面去，由于物方介质和像方介质是相同的，所以主点就是节点，因此我们就可以得到它所成的像在像方焦平面上，它的高度$y'$就等于$f'tan\omega$。但是$\omega$的测量是困难的，于是我们把这个系统转化成利用平行光管来进行测量。我们将物体放在平行光管的物方焦平面上，如下图所示。
7. 理想光学系统组合
【光组】一个理想光学系统可由一个或几个部件组成，每个部件可以由一个或几个透镜组成，这些部件被称为光组。光组可以单独看作一个理想光学系统，由焦距、焦点或主点的位置来描述。
- 第一个光组的像方主点到第二个光组的物方主点的距离称之为间隔$d$;
- 第一个光组的像方焦点到第二个光组的物方焦点的距离称之为光学间隔$\Delta$.
过度公式和间隔、光学间隔的关系：
\[\begin{aligned} l_{i+1}&=l_i'-d_i\\ x_{i+1}&=x_i'-\Delta_i\\ \Delta_i&=d_i-f_i'+f_{i+1} \end{aligned}\]【光焦度】像方焦距的倒数
\[\varphi=\frac{1}{f'}\]【多光组组合计算（正切计算法球合成焦距）】
\[f'=\frac{h_1}{tan\ U_K'}\]各光组对合成焦距的作用，不仅与自身的焦距有关，还与它在系统中的位置有关。
用正切算法来求理想光学系统的焦距是不必作正切运算的。
8. 透镜与薄透镜
- 透镜是构成光学系统的最基本单元，它是由两个曲面包围一种透明介质（例如玻璃）所形成的光学零件。
- 透镜按其对光线的作用可分为两类，对光线有会聚作用的称为会聚透镜，光焦度$\varphi$为正值，又称为正透镜；对光线有发散作用的称为发散透镜，光焦度$\varphi$为负值，又称为负透镜。
- 可将透镜的两个折射球面看成是两个单独的光组，分别求出它们的焦距和基点位置，应用多光组合成焦距等公式可以求得透镜的焦距和基点位置。
在近轴区，单个折射球面成完善像，可看成理想光组，具有基点、基面。
主平面上，$\beta=1$，由近轴区横向放大公式：
\[\beta=\frac{nl'}{n'l}=\frac{l'-r}{l-r}=1\Rightarrow\begin{cases} nl'=n'l\\l'=l \end{cases}\]因为${n\ne n'}$，我们可以解得
\[l'=l=0\]这说明，对于单个折射球面而言，$H$，$H'$和$O$相重合，而且物方主平面和像方主平面与球面顶点$O$相切。
单个折射球面的成像公式：
\[\frac{n'}{l'}=\frac{n}{l}=\frac{n'-n}{r}\] \[\begin{matrix} l(l')\rightarrow\infty&\Rightarrow&l'(l)\rightarrow f'(f) \end{matrix}\\\ \\\begin{matrix} f'=\frac{n'r}{n'-n}&f=-\frac{nr}{n'-n}&\frac{f'}{n'}=-\frac{f}{n} \end{matrix}\]单个折射球面的节点($J$、$J'$)均位于球心$C$，不与主点重合。（原因：$n'\ne n$）
【透镜的主面和焦距】：
透镜放在空气中，即$n_1=n_2'=1$；设透镜的材料折射率为$n$，即$n_1=n_1'=n$，则：
\[\begin{matrix} f_1=-\frac{r_1}{n-1}&f_1'=\frac{nr_1}{n-1}\\ f_2=\frac{nr_2}{n-1}&f_2'=-\frac{r_2}{n-1} \end{matrix}\]透镜的光学间隔：\(\Delta=d-f_1'+f_2\)
如果$d=0$，则这种透镜就称为薄透镜。下面为薄透镜的各参数：
\[d=0\\ \varphi=(n-1)(c_1=c_2)\\ f'=\frac{r_1r_2}{(n-1)(r_2-r_1)}=-f\\ l_H'=l_H=0\]【说明】两个主面与各个球面顶点重合，两主面彼此重合
9. 远摄型光组和反远距型光组
两光组组合：
\[\varphi=\varphi_1+\varphi_2-d\varphi_1\varphi_2\]如果说$\varphi_1$和$\varphi_2$这两个透镜的位置进行了调换，而保持间隔$d$不变，我们可以通过公式知道，它的光焦度是不变的，它的焦距也是不变的。
【远摄型光组】是由正透镜和负透镜组成的，正透镜在前，负透镜在后。有焦距大于筒长的优点。像方主面在整个光组的前方。
【反远距型光组】同样由正透镜和负透镜组成的，负透镜在前，正透镜在后。特点：后工作距大于焦距。像方主面在整个光组的后方。
