《光学工程基础》清华大学（7）- 应用光学（像差简介）
对一个实际光学系统来说，光学像差对于成像质量的影响，比衍射造成的影响，往往会更大。
【复习】单个球面的光线的传播规律
【旁轴近似】如果从A点发出的光线，如果与光轴的夹角非常小，并且入射角和折射角和像方孔径角非常小的时候，上图公式中的正弦值$sin\theta$可以用弧度值$\theta$来表示。我们称这个情况下为旁轴近似，满足旁轴近似的光线称为近轴光。
对同一点发出的光线，只要物方截距相同，无论孔径角怎么变化，它的像方截距永远是相等的。因此我们可以认为，在旁轴近似下，A点经过单个球面折射，是满足近似的理想成像。光线满足旁轴近似那一部分光线，我们称之为近轴光线。不满足的光线我们称之为非近轴光线。近轴光线是理想成像，非近轴光线不能满足理想成像。
偏离旁轴近似的光线越多，那么它的成像质量就越差，越偏离理想成像。
1. 球差
【球差】轴上点发出的同心光束，经过光学系统以后，它不再是个同心光束。一个光学系统发出的同心光束，会聚以后还是同心光束，那么这个光学系统是理想成像的；否则，不容高度的光线，经过光学系统后，汇聚在光轴上的位置是不一样的，这些不同孔径的光线会聚的像点，相对于近轴区的理想像点，他们都有一定程度的偏差，这种偏差我们就称之为轴向球差$\delta L'$.
\[\delta L'=L'-l'\]其中，$L'$是实际不同孔径光线汇聚以后的像方截距，$l'$为理想像点的像方截距。
球差与光线在透镜上的入射高度，或者说光线在入瞳上的入射高度是有关系的。
我们可以使用该光线在孔径光阑上的归一化位置来表示在入瞳上的入射高度。一般来说，我们会描述五个孔径的光线球差值，一般是$1.0$孔径、$0.85$孔径、$0.707$孔径、$0.50$孔径和$0.30$孔径。随着计算机技术的发展，我们可以实现全孔径任意位置的任意孔径值的球差值的计算。
$1.0$表示全孔径，$0.5$表示半孔径，$0$就是表示光轴。
【理解球差的另一种方式】不同孔径的光线有不同的焦距（可以这么理解，但是不能这么说，因为焦距这个概念仅仅对于近轴光而言）。
光学系统中存在一些非近轴的光线，这些非近轴的光线不满足旁轴近似，它们经常会在某个镜片上的入射角比较大，入射角大了，就不满足旁轴近似，这些光就不能理想成像，因而会带来像差，故而在光学系统中减少像差的一个思路就是减少每一个面上入射光线的入射角，使得更多的光线可以接近于旁轴近似。所以下面介绍一下减少球差的方法：
1）保证光焦度不变的情况下，合理的增加透镜的数目。这样可以使得透视的曲率半径变大，减少每个光学面上入射角的大小。
但是增加透镜的数目，会增加整个系统的供应难度和成本，故而只能“合理”地增加透镜数目。
2）保证光焦度不变的情况下，提高透镜折射率。
如果一个透镜的折射率变大，而焦距不变，那么它的曲率半径就会变大。曲率半径变大以后，对于入射光而言，它的入射角就会变小，这样也是有助于减少球差的。
3）保证光焦度不变的情况下，合理设计面形。
4）采用光学非球面。（改变球面上的每一点的曲率半径，使得该孔径的光线都会聚到理想像点上面去）
非球面透镜相当于球面透镜而言，也有自己的缺陷。非球面透镜存在加工、检测都相对于普通球面透镜要求对会高很多。
2. 色差
【色差如何引起】光学玻璃是存在色散的。也就是一块玻璃，对于不同波长的光，有不同的折射率。我们以前用色散系数或者阿贝数来表示玻璃的色散。色散系数越小，色散就越大。折射率发生变化了，对于光学系统来说，不同的波长的光就有不同的焦距。如果一个光学系统焦距发生变化了，我们可以认为和焦距相关的一些光学参量都会发生变化，比如说垂轴放大倍率、轴向放大倍率。这些变化，就会带来名为色差的现象。
【轴上点色差】同一个光学系统对不同波长的光，成像位置和成像大小的差异叫色差。
- 产生原因：玻璃对不同的波长有不同的折射率；
- 色差分类：轴向色差、横向色差
- 轴上点对两种波长成像位置的差异叫轴向色差。
【如何描述色差的大小】色差是对某同一孔径的两种不同波长光线的会聚像点之间的差。近轴色差可以说是色差的一种特例，它是满足旁轴近似情况下光学系统的色差。（红光蓝光之间的差）
【三棱镜的色散】
\[色散\propto \begin{matrix} 1/v\\\alpha\\光焦度 \end{matrix}\]
一个普通的透镜我们可以认为是由无数个小的三棱镜组成。我们可以在透镜上每一点作切平面，然后入射面和出射面上的两点对应的两个切平面的夹角就是上面图中的$\alpha$，就可以“得到”一个三棱镜。这个$\alpha$的大小可以反映光焦度的大小：透镜越鼓，$\alpha$越大，透镜的光焦度也就越大，色散也就越厉害。
每一个透镜，对整体色差的贡献，是由光焦度与色散系数的比值决定的。
\[C\propto\sum\frac{\varphi_i}{v_i}\]【双胶合透镜】第一片：低色散的正透镜，冕牌玻璃，K9；第二片：高色散的负透镜，火石玻璃，ZF2，总光焦度不变；第二片透镜的光焦度为负，可以抵消第一片透镜产生的大部分轴向色差；消色差双胶合透镜。
【横向色差（倍率色差）】同一种介质对不同的色光有不同的折射率，可以认为不同的波长有不同的焦距，也可以认为有不同的垂轴放大倍率。因此，光学镜头对轴外点成像时不同波长的光线有不同的像高，这种差异称为倍率色差或者垂轴色差。
3. 子午像差和弧矢像差
【前面总结】球差和轴向色差是轴上点的色差，横向色差和倍率色差是轴外点的色差。
【子午面】由主光线和光轴组成的平面；【弧矢面】通过主光线并与子午面垂直的平面。
我们以前画的光路图都是在子午面上的。
【轴外点子午像差】
- $A'$：点$A$的理想像点；
- $B_t'$：主光线$BP$周围的细子午光束的聚焦点位置；
- $B_T'$：子午面内最大孔径高的两条光线$BM^+$和$BM^-$的聚焦点；
- $x_t'$：细光束子午场曲；
- $\delta L_T'$：指定孔径子午光线对的子午球差；
- $K_T'$：指定孔径子午光线对的子午彗差；
如果B是轴上点，则成为球差；如果B是轴外点，则称为子午球差。
【轴外点的弧矢像差】
- $A'$：点$A$的理想像点；
- $B_s'$：主光线$BP$周围的细弧矢光束的聚焦点位置；
- $B_S'$：弧矢面内最大孔径高的两条光线$BD^+$和$BD^-$的聚焦点；
- $x_s'$：细光束弧矢场曲；
- $\delta L_S'$：指定孔径弧矢光线对的弧矢球差；
- $K_S'$：指定孔径弧矢光线对的弧矢彗差；
4. 彗差、像散、场曲、畸变
彗差、像散和场曲是三个针对轴外视场的单色像差。
4.1 彗差
成像点形状像彗星，靠近主光线的细光束形成“彗星”亮斑，远离主光束的不同孔径的光线束形成“彗星”的尾巴。
【如何理解彗差】同一视场不同孔径的光线，它的放大倍率是不一样的，也就是说，同一视场不同孔径的光线它在高斯像面上的入射高度是不一样的。既然彗差在讨论时是利用主光线、上光线在高斯像面上的入射高度的差异、差值来表示的，那么也就是说，彗差的大小和主光线和上光线是直接相关的。根据前面光阑的知识可知，如果我们修改孔径光阑的位置，或者改变孔径光阑的大小，就相当于我们直接选择了主光线，或者选择了上、下光线，也就选择了参与成像的光线，这就会改变彗差的大小。所以在光学系统中，孔径光阑是个非常重要的一个器件，它虽然不提供光焦度，但它可以很明显的影响光学系统的成像质量。可以这么说：如果有光学系统，只要改变孔径光阑的位置，就可以大大的影响它的成像质量。
4.2 像散
【像散】轴外视场子午面细光线的像点$B_t'$和弧矢面细光束的像点$B_s'$并不在同一点处，它们之间的位置差称为像散。（原因：子午面和弧矢面整个光学系统不对称造成的。）
轴上点没有像散，同样也没有彗差。
4.3 场曲
【场曲】轴外视场的像点不在高斯像面，并且不同视场的像点离开高斯像面的距离是不一样的，这样就造成像面的弯曲，称为场曲。
【场曲的矫正】在光学系统的像面前，放入负透镜（匹兹万镜头）。
场曲的矫正：利用“平板玻璃可以使光线平移的方法”。因为边缘视场的场曲更大，也就意味着边缘视场需要平移的量更多，也就需要玻璃平板的厚度要更厚。 不同视场需要插入一个不同厚度的平板玻璃，把这个平板玻璃平滑的连续的看下来，那么他就是个凹透镜。如此就可以在像平面上得到一个消除了场曲的成像系统。
4.4 畸变
【畸变】成像光束的主光线和理想像面的焦点的高度（实际像高）与理想像高之差，称为畸变。
对于不同的视场，偏差大小不一样，因此造成了不同的畸变图形。
- 绝对畸变：$\delta y_z'=y_z'-y_o'$
- 相对畸变：$\frac{y_z'-y_o'}{y_o'}$
- 理想像高：$y_o'$
- 主光线与理想面的交点高$y_z'$
畸变是唯一一个不会造成像斑模糊的像差。只是造成了实际像与理想像之间的偏移，并不会造成像的模糊。
人眼可以接受的畸变量大致为 $2\%\sim3\%$。设置光学系统的时候尽量控制在$1\%$左右。
5. 垂轴像差、波像差
几何像差里中有五种单色像差、两类色差。
| 单色像差 | 球差、彗差、场曲、像散、畸变 |
|---|---|
| 色差 | 轴向色差、横向色差 |
接下来我们用另外两种方式来描述光学系统的像差：垂轴像差、波像差。
5.1 垂轴像差
【垂轴像差】同一视场不同孔径子午光线或弧矢光线在理想像面上的交点和主光线在理想像面上的交点间的距离（交点的高度之差）。它直接给出了光束在像平面上的弥散情况（弥散斑的分布情况），反应了像点的大小。
\[\delta_{y'}=|y_z-y'|\]垂轴像差和视场有关系，也和光线在孔径光阑上的位置有关系。 用像差曲线表示垂轴像差。
5.2 波像差
一个理想光学系统，如果入射是平面波或者球面波，它的出射波面一定也是个球面波。如果这个光学系统存在几何像差，可以认为这个光学系统已经不是理想成像，同时其出射波面不是个球面波，而是一个变了形的波面。这个变了形的波面与理想的球面之间的偏差，我们就称之为波像差。如果一个光学系统存在波像差，就会影响光学系统的成像质量。
【波像差】理想成像时，可以认为是以理想像点为中心的球面波。几何像差可以认为是经光学系统后理想薄面发生了“形变”。波像差$OPD$为实际波面与理想波面之间的光程差。
根据瑞利判据，波像差小于或等于1/4波长，则光学系统的特性可以认为是完善的。
【焦深】在保持像清晰的前提下，像面沿着镜头光轴所允许移动的距离。可以确定系统的离焦量$\delta$。
如果我们希望移动$\delta$量后，整个光学系统的波像差控制在$\lambda/4$，那么通过简单的几何关系，可知$\delta$和光学系统的$F$之间的关系：
\[\delta=\pm2\lambda(F/\#)^2\]
6. 光学传递函数
【光学传递函数（MTF）】反映了光学系统对物体不同频率成分的传递能力。表示各种不同频率的正弦强度分布函数经光学系统成像后，其对比度的衰减程度。单位为 $lp/mm$。
\[对比度=\frac{I_{max}-I_{min}}{I_{max}+I_{min}}\\\ \\ MTF=\frac{像的对比度}{物的对比度}\]
从图中我们可以看出，$I_{max}$变小了，$I_{min}$变大了.
光学系统的衍射是必然存在的。如果这个光学系统的像差非常小，那么它只可以接近衍射极限，并不能超过它，故而这条黑线又被称之为衍射极限线。衍射极限线的截止处被称为截止频率，其物理意义为：如果光学系统不存在像差，只存在衍射，它最高能分辨的空间频率。
光学传递函数可以很好的反映出一个光学系统的成像质量，尤其是不同空间频率下它的图像的对比度。但是在光学传递函数中，畸变是无法被体现出来的（畸变是不影响图像的清晰度的）。