《光学工程基础》清华大学（16）- 物理光学（光波的叠加）
【波的叠加原理】
\[\overrightarrow{E}(p)=\overrightarrow{E}_1(p)+\overrightarrow{E}_2(p)\]合振动是各个波在该点产生振动的矢量和。
1）叠加结果：光波振幅的矢量和（非光强和）
- 真空中普遍成立，介质中有条件成立。
- （线性）条件：照射强度小于 $10^{10}V/m$（原子外层电子电场）。
2）叠加的合矢量仍然满足波动方程的通解，一个实际的光场是许多个筒谐波叠加的结果。
3）光波传播的独立性：两列光波相遇，每列波仍然保持原有的特性（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变。
- 两列或者是多列振动独立的波在相交处，振动相加，最后会产生一个强度干涉的现象。
【光波叠加种类】
- 同频率、同方向单色光波的叠加 —— 干涉现象；
- 同一条直线相向传播的相干光叠加 —— 驻波；
- 同频率相互垂直的光波的叠加 —— 椭圆偏振；
- 同方向不同频率的光波的叠加 —— 光学上的“拍”（一种现象）。
合光强的大小取决于两光波在$p$点的相位差$\sigma$:
\[\begin{aligned} \delta&=\alpha_1-\alpha_2=k(r_1-r_2)\\&=\frac{2\pi}{\lambda}n(r_1-r_2)=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta \end{aligned}\\ 其中光程差~\Delta=n(r_1-r_2)\] \[I(p)=4I_0cos^2\frac{\delta}{2}=4I_0cos^2\frac{\pi\Delta}{\lambda}\\ \Delta~or~\delta=(\alpha_1-\alpha_2)\]只要两光波的相位差保持不变，再叠加区域内各点的光强分布不变。
【光的干涉】在叠加区域内，光强稳定的强弱分布的现象。
两相干光波叠加后，光的能量重新分布。
【驻波】两个频率相同、振动方向相同而传播方向相反的单色光波叠加形成驻波。
- 对某一 $z$点，$E$随时间以频率 $\omega$作简谐振动，某一时刻 $t$，振幅随不同 $z$处而变。
- 振幅最大（最小）值位置不随时间变化。波腹 $A=2a$，波节 $A=0$。
- 相邻波腹（波节）间距为 $\lambda/2$，腹节距为 $\lambda/4$。
全反射时，沿界面法线方向为驻波，沿界面方向为横波。
【合成波】频率相同、振动方向互相垂直单色光波叠加。一般情况下，合成波是椭圆偏振光。合振动的大小和方向随时间变化，其矢量末端运动轨迹为椭圆，轨迹方程（椭圆方程）为
\[\frac{E_x^2}{a_1^2}+\frac{E_y^2}{a_2^2}-2\frac{E_x}{a_1}\frac{E_y}{a_2}cos(\alpha_2-\alpha_1)=sin^2(\alpha_2-\alpha_1)\]$P$点合矢量沿椭圆周期性旋转，旋转的角频率为$\omega$。
合成光波的偏振态：1）两叠加光波的振幅比 $\frac{a_1}{a_2}$；2）两叠加光波相位差 $\sigma=\alpha_2-\alpha_1$，
\[E_y=\pm\frac{a_1}{a_2}E_x\]- 当 $\delta=2m\pi~or~\delta=(2m+1)\pi$ 时，表示 $E_x$与 $E_y$ 同相或反相，合振动矢量末端沿着斜率为 $\pm\frac{a_1}{a_2}$的直线运动，合成光是线偏振光。
- $\delta=(2k+1)\frac{\pi}{2}$的时候，$\frac{E_x^2}{a_1^2}+\frac{E_y^2}{a_2^2}=1$，为椭圆偏振光，表示椭圆的长短轴分别在x和y轴上；当 $a_1=a_2=a$时，为圆偏振光。
- 当 $\delta$ 为其它取值时，为任一取向的椭圆偏振光，分为左旋（$sin(\alpha_2-\alpha_1)<0$）和右旋（$sin(\alpha_2-\alpha_1)>0$）。
椭圆偏振的旋向定义：迎着光的方向，光波矢量末端的旋转方向。如果是左旋就是左圆偏振光；如果是右旋就是右旋圆偏振光。
椭圆偏振光的强度恒等于两偏振分量光波的强度之和，与叠加波的位相差无关，无干涉现象。
【拍频】由两个频率接近，振动方向相同，且在同一方向传播的光波叠加形成。
【拍】合成波的强度随时间和位置而变化的现象。
- 拍频：$2\omega_m=\omega_1-\omega_2$；
- 应用：利用已知的一个光频率$\omega_1$，测量另一个位置的光频率$\omega_2$。
【群速度和相速度】
- 单色光波传播速度->等相面的传播速度；
- 复杂波动传播速度->等相面的传播速度（相速度），等幅面的传播速度（群速度）。
- 叠加光波，在真空中时：相速度=群速度；
- 叠加光波，在色散介质中时：合成波 群速度$\ne$相速度。
推导相速度和群速度的关系：
\[\left.\begin{aligned} v=\frac{\bar{\omega}}{\bar{k}}\\ v_g=\frac{d\omega}{dk} \end{aligned}\right\}~\rightarrow~v_g=\frac{d\omega}{dk}=\frac{d(kv)}{dk}=v+k\frac{dv}{dk}\\~\\ k=\frac{2\pi}{\lambda},~dk=-\frac{2\pi}{\lambda^2}d\lambda~~\rightarrow~~v_g=v-\lambda\frac{dv}{d\lambda}\]波包的群速度可以看作是振幅最大点的移动速度，而波动携带的能量与振幅的平方成正比。