《光学工程基础》清华大学(18)- 物理光学(杨氏干涉实验)

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杨氏干涉是典型的分波阵面干涉。1801年,杨氏首次用分波阵面的方法,实现了光的干涉。

1. 干涉图样计算

\[r_2^2-r_1^2=2xd\]

光程差:

\[\Delta=r_2-r_1=\frac{r_2^2-r_1^2}{r_2+r_1}=\frac{2xd}{r_2+r_1}\overset{ \begin{matrix} x<<D\\ y<<D \end{matrix}}{\approx}\frac{2xd}{2D}=\frac{d}{D}x\]

相位差:

\[\begin{aligned} \delta&=k(r_2-r_1)=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\\ I&=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta\\ I_1&=I_2=I_0\\ I&=2I_0(1+cos\delta)\\ &=4I_0cos^2[\frac{\pi}{\lambda}(r_2-r_1)]\\ &=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x) \end{aligned}\]

从相位差 $I=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x)$ 的式子中可以看出,当 $\frac{\pi d}{\lambda D}x=m\pi$ 的时候,$I$ 取到最大值,即为亮的位置。

  • 亮:$x=m\frac{\lambda D}{d},~I_{Max}=4I_0;~(r_2-r_1=m\lambda)$;
  • 暗:$x=(m+\frac{1}{2})\frac{lambda D}{d},~I_{Min}=0;~(r_2-r_1=(m+\frac{1}{2})\lambda)$。

干涉条纹的意义:等光程差线(同一条纹上的任一点到两个光源的光程差恒定)

  1. 干涉条纹代表 $\Delta$ 的等值线;
  2. 相邻两干涉条纹间 $\delta$ 变化 $2\pi$,$\Delta$ 变化量为一个 $\lambda$。

干涉条纹的间隔 $e=(m+1)\lambda\frac{D}{d}-m\lambda\frac{D}{d}=\lambda\frac{D}{d}$。

  • 干涉级 $m=\frac{\Delta}{\lambda}$,用波长度量的光程差大小。
  • 一个干涉条纹=亮纹+暗纹 $\delta m=1,~~\delta x=e=\lambda\frac{D}{d}$;
  • 干涉光束的会聚角 $\omega$:到达干涉场某一点的一对相干光束的夹角(可以观察前文中的干涉图样计算模型)。在杨氏干涉中,因为 $D»d,~D»x,y$,则 $\omega\approx\frac{d}{D}$。如此,条纹的间隔可以表示为 $e=\frac{\lambda D}{d}=\frac{\lambda}{\omega}$。

条纹间隔 $e$ 与波长 $\lambda$ 及会聚角 $\omega$ 的关系式

\[e=\frac{\lambda}{\omega}\]

具有普遍的意义,适合于任何干涉系统(尽管是通过杨氏干涉推导而出)。其中 $\omega$ 随干涉场的位置变化而变化。

干涉条纹间隔与波长的关系:

\[e\propto\lambda,~~e\propto\frac{1}{\omega}\]

两个点光源的光场产生的干涉条纹不止是直条纹。我们可以通过两个点光源到干涉面的表达式,以及与光程差的关系,可以得到等光程差点的空间轨迹(是一条双曲线)。如下:

\[\left.\begin{aligned} r_1=S_1P&=\sqrt{(x-\frac{d}{2})^2+y^2+z^2}\\ r_2=S_2P&=\sqrt{(x+\frac{d}{2})^2+y^2+z^2}\\ \Delta&=r_2-r_1 \end{aligned}\right\}~\Rightarrow~ \begin{matrix} \frac{x^2}{\begin{pmatrix} \Delta\\2 \end{pmatrix}^2}-\frac{y^2+z^2}{\begin{pmatrix} d\\2 \end{pmatrix}^2-\begin{pmatrix} \Delta\\2 \end{pmatrix}^2}=1\\\Downarrow\\ \frac{x^2}{(\frac{m\lambda}{2})^2}-\frac{y^2+z^2}{(\frac{d}{2})^2-(\frac{m\lambda}{2})^2}=1 \end{matrix}\]

可以得到这是一个双曲线组。

等光程差面:以 $m$ 为参数的回转双曲面组,$x$ 轴为回转轴,干涉条纹就是等光程差面与观察屏幕的交线

2. 分波阵面干涉装置的特点

【菲涅耳双面镜装置】

【菲涅耳双棱镜装置】

【洛埃(Lloyd)镜装置】

【比累(Billet)对切透镜装置】

【小结】

分波阵面干涉装置的特点

  • 属点光源干涉,形成非定域的条纹。
  • 利用反射、折射,由 1 个光源获得 2 个虚/实相干光源。
  • 形成的都是等振幅双光束干涉:$I=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x)$

线光源(y方向延伸)情况:条纹分布不变,亮度增加。$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{xd}{D}$ 拓展光源(x方向增宽)时:各点源产生的条纹位移,影响条纹可见度。$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{xd}{D}$。最大值的强度增大了,最小值的强度也增大,即大于零,这就导致干涉条纹变得模糊了。

杨氏干涉为两个孔,如果多孔如何处理?求出每一个点到目标点的光强,然后将所有孔到该点的光强叠加。(不能直接适用杨氏干涉的光强公式)