《光学工程基础》清华大学（18）- 物理光学（杨氏干涉实验）
杨氏干涉是典型的分波阵面干涉。1801年，杨氏首次用分波阵面的方法，实现了光的干涉。
1. 干涉图样计算
光程差：
\[\Delta=r_2-r_1=\frac{r_2^2-r_1^2}{r_2+r_1}=\frac{2xd}{r_2+r_1}\overset{ \begin{matrix} x<<D\\ y<<D \end{matrix}}{\approx}\frac{2xd}{2D}=\frac{d}{D}x\]相位差：
\[\begin{aligned} \delta&=k(r_2-r_1)=\frac{2\pi}{\lambda}\Delta\\ I&=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta\\ I_1&=I_2=I_0\\ I&=2I_0(1+cos\delta)\\ &=4I_0cos^2[\frac{\pi}{\lambda}(r_2-r_1)]\\ &=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x) \end{aligned}\]从相位差 $I=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x)$ 的式子中可以看出，当 $\frac{\pi d}{\lambda D}x=m\pi$ 的时候，$I$ 取到最大值，即为亮的位置。
- 亮：$x=m\frac{\lambda D}{d},~I_{Max}=4I_0；~(r_2-r_1=m\lambda)$；
- 暗：$x=(m+\frac{1}{2})\frac{lambda D}{d},~I_{Min}=0；~(r_2-r_1=(m+\frac{1}{2})\lambda)$。
干涉条纹的意义：等光程差线（同一条纹上的任一点到两个光源的光程差恒定）
- 干涉条纹代表 $\Delta$ 的等值线；
- 相邻两干涉条纹间 $\delta$ 变化 $2\pi$，$\Delta$ 变化量为一个 $\lambda$。
干涉条纹的间隔 $e=(m+1)\lambda\frac{D}{d}-m\lambda\frac{D}{d}=\lambda\frac{D}{d}$。
- 干涉级 $m=\frac{\Delta}{\lambda}$，用波长度量的光程差大小。
- 一个干涉条纹=亮纹+暗纹 $\delta m=1,~~\delta x=e=\lambda\frac{D}{d}$；
- 干涉光束的会聚角 $\omega$：到达干涉场某一点的一对相干光束的夹角（可以观察前文中的干涉图样计算模型）。在杨氏干涉中，因为 $D»d,~D»x,y$，则 $\omega\approx\frac{d}{D}$。如此，条纹的间隔可以表示为 $e=\frac{\lambda D}{d}=\frac{\lambda}{\omega}$。
条纹间隔 $e$ 与波长 $\lambda$ 及会聚角 $\omega$ 的关系式
\[e=\frac{\lambda}{\omega}\]具有普遍的意义，适合于任何干涉系统（尽管是通过杨氏干涉推导而出）。其中 $\omega$ 随干涉场的位置变化而变化。
干涉条纹间隔与波长的关系：
\[e\propto\lambda,~~e\propto\frac{1}{\omega}\]两个点光源的光场产生的干涉条纹不止是直条纹。我们可以通过两个点光源到干涉面的表达式，以及与光程差的关系，可以得到等光程差点的空间轨迹（是一条双曲线）。如下：
\[\left.\begin{aligned} r_1=S_1P&=\sqrt{(x-\frac{d}{2})^2+y^2+z^2}\\ r_2=S_2P&=\sqrt{(x+\frac{d}{2})^2+y^2+z^2}\\ \Delta&=r_2-r_1 \end{aligned}\right\}~\Rightarrow~ \begin{matrix} \frac{x^2}{\begin{pmatrix} \Delta\\2 \end{pmatrix}^2}-\frac{y^2+z^2}{\begin{pmatrix} d\\2 \end{pmatrix}^2-\begin{pmatrix} \Delta\\2 \end{pmatrix}^2}=1\\\Downarrow\\ \frac{x^2}{(\frac{m\lambda}{2})^2}-\frac{y^2+z^2}{(\frac{d}{2})^2-(\frac{m\lambda}{2})^2}=1 \end{matrix}\]可以得到这是一个双曲线组。
等光程差面：以 $m$ 为参数的回转双曲面组，$x$ 轴为回转轴，干涉条纹就是等光程差面与观察屏幕的交线。
2. 分波阵面干涉装置的特点
【菲涅耳双面镜装置】
【菲涅耳双棱镜装置】
【洛埃(Lloyd)镜装置】
【比累(Billet)对切透镜装置】
【小结】
分波阵面干涉装置的特点：
- 属点光源干涉，形成非定域的条纹。
- 利用反射、折射，由 1 个光源获得 2 个虚/实相干光源。
- 形成的都是等振幅双光束干涉：$I=4I_0cos^2(\frac{\pi d}{\lambda D}x)$
线光源（y方向延伸）情况：条纹分布不变，亮度增加。$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{xd}{D}$ 拓展光源（x方向增宽）时：各点源产生的条纹位移，影响条纹可见度。$\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\frac{xd}{D}$。最大值的强度增大了，最小值的强度也增大，即大于零，这就导致干涉条纹变得模糊了。
杨氏干涉为两个孔，如果多孔如何处理？求出每一个点到目标点的光强，然后将所有孔到该点的光强叠加。（不能直接适用杨氏干涉的光强公式）