《光学工程基础》清华大学（19）- 物理光学（干涉条纹的对比度及其影响因素）
1. 时间相干性
【干涉条纹可见度 $K$】用来表征干涉场某点附近条纹亮暗反差的程度。公式如下
\[K=\frac{I_M-I_m}{I_M+I_m}\]影响干涉可见度的因素：
- 相干光束的振幅比
- 光源大小
- 光源非单色性
1.1 两相干光束振幅比的影响
双光束干涉：
\[I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2cos\delta}=(I_1+I_2)(1+\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}cos\delta)\]可见度 $K$ 为 $cos\delta$ 前面的系数的绝对值，即得
\[K=\frac{2\sqrt{I_1I_2}}{I_1+I_2}=\frac{2A_1A_2}{A_1^2+A_2^2}\]- 若 $A_1=A_2$，$K=1$，最好；
- 若 $A_1\ne A_2$，$K=1$，变差。
1.2 光源非单色性的影响（时间相干性）
实际光源辐射出的是大量有限长的波列，并非绝对单色，有一定的光谱宽度 $\Delta\lambda$（带宽）。
随着 $\Delta$ 的增加，不同波长 $\lambda$ 产生的干涉条纹的光程差是不一样的，所以它的明纹位置是互相错开的。明纹错开就导致形成一个彩色条纹，也会导致干涉条纹对比度下降。（错开的多了之后，整个强度是一个均匀的）
光源发射连续光谱 $\lambda\rightarrow\lambda+\Delta\lambda$ 时的情况（假设各波长强度相等）：$\Delta\lambda$ 范围内的每一种波长的光，都会各自生成一组干涉条纹，每组条纹（除了零干涉级），相互均有错移：
- 各波长互不相干；
- 干涉场是这些干涉条纹的光强叠加；
- 其叠加的结果导致干涉条纹对比度下降。
对于带宽为 $\Delta k$ 的光谱结构的光源，当 $\Delta=\frac{2\pi}{(\Delta k)}=\frac{\lambda^2}{(\Delta\lambda)}$ 时，$K=0$（第一个零值），$\Delta_max=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}=2L$，我们称 $2L$为波列长度，也叫相关长度。
【相干长度】光谱宽度为 $\Delta\lambda$ 的光源能够产生干涉的最大光程差。
【相干时间 $\Delta t$】光通过相干长度所需的时间。同一光源在相干时间 $\Delta t$ 内不同时刻发出的光，经过不同路径相遇时将产生干涉。
【时间相干性】源于光源发光过程的不连续性，表示空间某点的两个光波的时间关联性。我们用相干长度来描述：
\[2L=\Delta_{Max}=\Delta tc=\frac{\lambda^2}{\Delta\lambda}\]其中，$\Delta\lambda$为光源的谱线宽度。
$\Delta\lambda~or~\Delta k~or~\Delta\nu$都可以描述光源的非单色性。而光源的非单色性影响光波场的时间相干性。
根据
\[\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=\frac{\Delta\nu}{\nu},~~\Delta t\cdot\Delta\nu=1,\]我们可以知道，光源的谱线宽度 $\Delta\lambda$ 越窄，单色性越好，$\Delta\nu$越小，$\Delta t$越大，相干长度 $2L$ 越长，时间相干性越好。所以说，时间相干性最终取决于光源的光谱宽度 $\Delta\lambda$。
2. 空间相干性
【拓展光源】不相干点光源的集合，可视为由大量的独立点光源组成。
干涉场强度的分布为各个点光源产生的强度分布的叠加。
1）光源的临界宽度 $b_c$：$K=0$时的光源宽度。
不同位置的点光源产生一定位移的一组干涉条纹，从而使条纹对比度$K$下降。
当 $P_0$ 处两组条纹 $\delta\Delta=\frac{\lambda}{2}$ 时，整组条纹平移 $x=\frac{e}{2}$。（总强度为平均强度，$K=0$）。
2）若光源是以$S$为中心的拓展光源，我们可以将光源分成许多相聚 $b_{0c}=\frac{\lambda l}{2d}$ 的点对进行分析。
线状光源允许的临界宽度 $b_c$：
\[b_c=\frac{\lambda l}{d}\]干涉孔径角 $\beta$：到达干涉场某点两相干光束，从实际光源发出时的夹角。杨氏干涉中，干涉孔径角的定义($d$为两狭缝之间的距离，$l$为光源距面$S$的距离)：
\[\beta=\frac{d}{l}\]则通过上述两式我们可以得到求 $b_c$ 的普遍公式：
\[\left.\begin{aligned} b_c=\frac{\lambda l}{d}\\\beta=\frac{d}{l} \end{aligned}\right\}~\rightarrow~b_c=\frac{\lambda}{\beta}\]3）条纹可见度随线光源长度 $b$ 大小而变化。
- 元光源 $dx'$ 单独在屏上产生的强度：$I_0dx'$。
宽度为 $b$ 的光源在 $P$ 点产生的光强度：
\[\begin{aligned} I(P)&=\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}dI(P)\\ &=\int_{-\frac{b}{2}}^{\frac{b}{2}}2I_0[1+cos\frac{2\pi}{\lambda}(\frac{d}{l}x'+\frac{d}{D}x)]dx'\\ &=2I_0b[1+\frac{\lambda}{\pi b\beta}sin(\frac{\pi b\beta}{\lambda})cos(\frac{2\pi}{\lambda}\frac{d}{D}x)] \end{aligned}\]即得干涉条纹的可见度 $K$（$cos$前面的系数）：
\[K=\frac{\lambda}{\pi b\beta}|sin(\frac{\pi b\beta}{\lambda})|\]1） $b\rightarrow0,K\rightarrow1$；2） $b$增大， $K$ 下降到第一个 $K=0$ 的时候，我们称之为光源的临界宽度：$b_c=\frac{\lambda}{\beta}$。
根据对比度公式，$b_p=\frac{\lambda}{4\beta}$ 时，可见度 $K=0.9$，此时为一般光源所允许的光源宽度 $b_p$：
\[b_p=\frac{b_c}{4}\]4）光场的空间相干性：空间各点光波场间的相位关联（关联程度）。
能否发生干涉，取决于光源 $b_c$ 的大小。光源大小定了以后，干涉孔径角 $\beta$就定了，在干涉孔径角之内取两点，就是相干的。所以光场的空间相干性，和光源的大小是有关系的。对于点光源，屏幕上的各个点都是相遇的，干涉孔径角无穷大（即 $when~b=0,~\beta\rightarrow\infty$）；而对于拓展光源来说，干涉孔径角的大小和光源的大小 $b$ 成反比，光源越大，干涉孔径角 $\beta$ 越小。
空间相干性描述：相干宽度$d_0$（相干面积 $d_0^2$）
干涉孔径角 $\beta$：
\[b_c=\frac{\lambda}{\beta}=\frac{\lambda l}{d}\\ d_0=\frac{\lambda l}{b_c}\]- 相干宽度：$d_0=\frac{\lambda}{\theta_1}$
- 相干面积：$d_0^2=(\frac{\lambda}{\theta_1})^2$
- $\theta_1=\frac{b_c}{l}$
【干涉系统不变量】
\[b_c\beta=\lambda\\\omega e=\lambda\\d_0\theta=\lambda\\ 即~b_c\beta=\omega e=d_0\theta=\lambda\]